El Sapo Sabio

 

 

Desde el punto A se suelta una bolita para que deslice por la superficie convexa de radio R. Suponiendo despreciable el rozamiento, calcula el valor del ángulo φ cuando la bolita se separe de la superficie y la altura en ese punto.

 

Solución:

 

Supongamos que la bolita se separa de la superficie convexa en un punto B, como muestra la siguiente figura:

 

 

Los ángulos φ son iguales por tener sus lados paralelos.

 

cos φ = h / R

 

Para poder hallar el valor de φ, necesitamos averiguar cuánto vale h, para lo cual aplicaremos el principio de conservación de la energía.

 

ΔEc + ΔEp = 0  →  (Ec_f – Ec_i ) + (Ep_f – Ep_i) = 0

 

Cálculo de las energías:

 

La energía cinética inicial es igual a cero, pues la bolita está parada.

 

Energía cinética final:

 

Ec_f = (1/2) m v²

 

Energía potencial inicial:

 

Ep_i = m g R

 

Energía potencial final:

 

Ep_f = m g h

 

Sustituyendo en la ecuación de las energías:

 

(1/2) m v² – 0 + m g h – m g R = 0  →  (1/2) v² – 0 + g h – g R = 0

 

g h = g R – (1/2) v²  → h = R – (1/2 g) v²

 

Sustituyendo en la ecuación del coseno de φ:

 

 

Ahora necesitamos saber el valor de v².

 

Fuerzas que actúan sobre la bolita y descomposición de las mismas, en el punto B.

 

 

 

En el instante que se inicia la separación N = 0, luego:

 

m g cos φ = m a_n  →  m g cos φ = m (v² / R)  → g cos φ = v² / R

 

v² = R g cos φ

 

Sustituyendo en la ecuación del coseno de φ:

 

 

 

Altura de la bolita cuando se separa de la superficie convexa.

 

De la ecuación inicial tenemos:

 

h = R cos φ  →  h = (2/3) R

 

 

 

 

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