El Sapo Sabio

 

Se dispara una bala con una velocidad de 200 m/s, con un ángulo de 30° respecto a la horizontal. Determinar:

a)  Velocidad en el punto más alto.

b)  Altura máxima que alcanza.

c)  Velocidad con la que impactará en el suelo.

d)  Tiempo que tardará en impactar con el suelo.

e)  Alcance máximo.

 

Solución:

Datos: v₀ = 200 m/s; a = 30º; g = 9,8 m/s²

 

 

Ecuaciones del movimiento:

 

 

a)  En el punto más alto v_1,y = 0

 

 

b)  Como ya se ha dicho en el apartado a), la altura máxima se consigue cuando v_1,y = 0.

y₁ = v₀ t₁ sen a – (1/2) g t₁²

 

y₁ = 200 (m/s)·t₁·sen 30º – (1/2)·9,8 (m/s²)·t₁²

 

y₁ = 100 (m/s)·t₁ – 4,9 (m/s²)·t₁²

 

Para poder hallar la altura máxima necesitamos saber el tiempo que la bala tarda en conseguirla, es decir, t₁.

 

v_1,y = v₀ sen a – g t₁ → 0 = v₀ sen a – g t₁

 

g t₁ = v₀ sen a

 

 

y₁ = 100 (m/s)·10 s – 4,9 (m/s²)·(10 s)²= 1000 m – 490 m = 510 m

 

La altura máxima es de 510 metros por encima del origen.

c)  En el lugar de impacto con el suelo se verifica que y₂ = 0.

 

 

Para poder averiguar el valor de v₂ necesitamos saber el tiempo que la bala tarda en llegar al suelo.

y₂ = v₀ t₂ sen a – (1/2) g t₂²

 

0 = v₀ t₂ sen a – (1/2) g t₂²

 

(1/2) g t₂² – v₀ t₂ sen a = 0

 

g t₂² – 2 v₀ t₂ sen a = 0

 

(g t₂ – 2 v₀ sen a)·t₂ = 0

Primera solución: t₂ = 0, cosa que sucede en el origen.

Segunda solución:

g t₂ – 2 v₀ sen a = 0

 

 

v_x,2 = 200 (m/s)·cos 30º = 173 m/s

 

v_y,2 = 200 (m/s)·sen 30º – 9,8 (m/s²)·20,4 s = –100 m/s

 

El signo negativo de v_y,2 indica que la bala está bajando.

 

 

d)  Como ya se ha visto en el apartado anterior el tiempo de vuelo, o sea, el que tarda en llegar al suelo es 20,4 segundos.

e)  Alcance máximo:

 

x₂ = 200 (m/s)·20,4 s·cos 30º = 3533 m

 

El alcance máximo de la bala es 3533 metros.