Principio de conservación. Poleas 03

 

Calcula la velocidad angular de la polea, cuando ésta haya dado una vuelta partiendo del reposo.

Datos: m1 = 4kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm. Momento de inercia de la doble polea: I = 2 kg· m2.

 

Solución:

 

Datos: m1 = 4kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm; I = 2 kg· m2; v0 = 0; ω0 = 0; φ = 1 v = 2π rad

 

Sentido de giro:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g                     T2 = m 2 g

 

Momento del torque sobre la polea:

 

 

 

  

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

 

M = R1 m1 g + 0 + 0 – R2 m2 g = g (R1 m1 – R2 m2) 

 

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que, según los datos del problema: R2 m2 > R1 m1.

 

 

La polea girará un ángulo φ y tomará una velocidad ω. El bloque 2 descenderá un espacio d2 con una velocidad v2 y el bloque 1 subirá un espacio d1, adquiriendo una velocidad  v1.

 

Principio de conservación:

 

 

 

 

ΣW = ΔEp + ΔEc

 

 

 

 

Calculo del trabajo total:

 

Trabajo de rotación sobre la polea:

 

 

 

 

MM g = MN = 0, las fuerzas están aplicadas al eje, luego no realizarán ningún trabajo.

 

 

 

Trabajo del bloque 1:

 

 

El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp1.

 

 

Trabajo del bloque 2:

 

 

El Wpeso no se cuenta ya que está incluido en ΔEp2.

 

 

Ahora se debe poner las distancias d1 y d2 en función del ángulo φ, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.           

 

 

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:

 

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:

 

d = φ R (Definición de radián)

 

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

 

 

                         

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

 

Sustituyendo en las ecuaciones de los bloques:

 

 

Cálculo de las energías:

 

Estado inicial:

 

 

 

 ωi = 0       v1,0 = 0       v2,0 = 0

 

Estado final:

 

ωf  = ω       v1,f = v1       v2,f = v2              

 

 

 

 

 h1,fin = d1 + h1,in → d1 = h1,fin – h1,in

 

 

h2,in = d2 + h2,fin → –d2 = h2,fin – h2,in

 

Sustituyendo en la ecuación de la energía potencial:

 

 

De todo lo anterior se tiene:

 

 

Una forma más simple de realizar el problema es mediante el siguiente razonamiento:

 

La energía potencial perdida por el bloque 2 al descender se transforma en energía cinética que adquiere dicho bloque, más la energía de cinética de rotación que gana la polea y la energía cinética y potencial que adquiere el bloque 1, por tanto:

 

 

Un comentario para “Principio de conservación. Poleas 03”

  • jonathan10412:

    holaaaaaaaaaa
    Tu web es muy buena, hay ejercios de mucha ayuda y con una explicación super detallada
     
    POrfa sigue así

Deja un comentario

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo