Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 03
11 de mayo de 2010 | 
Autor: Por un plano inclinado, de ángulo 30º y longitud 30 metros, bajan rodando sin deslizar una esfera y un cilindro que partieron simultáneamente del reposo.
a) ¿Cuál de ellos llegará antes al final del plano?
b) ¿A qué distancia estará el otro del él entonces?
Solución:
Datos: φ = 30º; L = 30 m
a) De los dos cuerpos llegará antes aquél cuyo c.d.m baje con mayor aceleración y para hallar dicha aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c.d.m, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α r, por tanto:
Rotación alrededor del c.d.m:
Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
Mm g sen φ = 0 Mm g cos φ = 0
Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:
Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.
Sustituyendo en la expresión de la aceleración:
Traslación del c.d.m:
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.
Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:
I = (1/2) m r2
Sustituyendo en las expresiones anteriores:
Momento de inercia de una esfera cuya masa está distribuida uniformemente respecto a su diámetro:
I = (2/5) m r2
Sustituyendo en las expresiones anteriores:
b) Distancia entre ambos cuerpos:
Δx = xe – x c
Ecuaciones de los movimientos:
Esfera:
Cilindro:
Cuando la esfera llegue al final del plano: xe = L, por tanto:
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