Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 03

 
Por un plano inclinado, de ángulo 30º y longitud 30 metros, bajan rodando sin deslizar una esfera y un cilindro que partieron simultáneamente del reposo.
 
a)      ¿Cuál de ellos llegará antes al final del plano?
 
b)      ¿A qué distancia estará el otro del él entonces?
 
Solución:
 
Datos: φ = 30º; L = 30 m
 
a)      De los dos cuerpos llegará antes aquél cuyo c.d.m baje con mayor aceleración y para hallar dicha aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c.d.m, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α r, por tanto:
 
 
Rotación alrededor del c.d.m:
 
 
 
Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
 
Mm g sen φ = 0                Mm g cos φ = 0
 
Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:
 
 
 
Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

 
Sustituyendo en la expresión de la aceleración:
 
 
Traslación del c.d.m:
 
 
 
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.
 
 
Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:
 
I = (1/2) m r2
 
Sustituyendo en las expresiones anteriores:
 
 
Momento de inercia de una esfera cuya masa está distribuida uniformemente respecto a su diámetro:
 
I = (2/5) m r2
 
Sustituyendo en las expresiones anteriores:
 
 
b)  Distancia entre ambos cuerpos:
 
 
Δx = xe – x c
 
Ecuaciones de los movimientos:
 
Esfera:
 

 
 
Cilindro:
 
 
 
Cuando la esfera llegue al final del plano: xe = L, por tanto:
 
 
 

 

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