Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 02

 
Una esfera maciza, de masa m y radio R, baja rodando sin deslizar por un plano inclinado de ángulo φ y coeficiente de rozamiento μ. Calcular:
 
     a)      Aceleración de su c.d.m.
 
     b)      Máxima inclinación del plano para que la esfera no deslice.
 
Solución:
 
     a)     Debemos hallar una aceleración para lo cual utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c.d.m de una esfera, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:
 
 
Ahora hemos de calcular el momento del torque.
 
 
La única fuerza útil es m g sen φ, por tanto la esfera bajará por la rampa girando en el sentido contrario de las agujas del reloj.
La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido opuesto a m g sen φ.
 
Rotación alrededor del c.d.m:
 
Momento del torque:
 
 

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
 
Mm g sen φ = 0                Mm g cos φ = 0
 
Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:
 
 
 
Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.
 
Sustituyendo en la expresión de la aceleración:
 
 
Ahora se debe hallar el valor de la fuerza de rozamiento.
 
 
Traslación del c.d.m:
 
 
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.
 
 
Momento de inercia de una esfera cuya masa está distribuida uniformemente respecto a su diámetro:
 
 
I = (2/5) m R2
 
Sustituyendo en las expresiones anteriores:
 
 

 

     b)    Según se ha visto en el apartado anterior, la fuerza de rozamiento para que la esfera ruede sin deslizar vale: Fr = (2/7) m g sen φ, luego al aumentar el ángulo φ tendrá que aumentar la fuerza de rozamiento, pero ésta tiene un límite: Fr,máx = μ N = μ m g cos φ, por tanto la máxima inclinación del plano es aquella para la cual es máxima la fuerza de rozamiento:
 
 
Si la pendiente del plano supera este valor la esfera bajará girando, pero no acompasadamente, es decir el punto de contacto con el suelo no estará en reposo.
 

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