Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 01

 
Se hace subir, rodando sin deslizar, un cilindro homogéneo de masa m y radio r por un plano inclinado de ángulo φ tirando de su eje con una fuerza igual al peso y paralela al plano. Plantea las correspondientes ecuaciones de la dinámica.
 
Solución:
 
Datos: m, r, φ, F = m g

 
Para que el cuerpo suba rodando y no resbale, debe existir un momento respecto al eje del cilindro creado por una fuerza.
Fuerzas que actúan sobre el cilindro y descomposición de las mismas:
 
 
 
Traslación del c.d.m:
 
 
Como F = m g, se sustituye obteniéndose:
 
 
La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a F.
 
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.
 
Rotación alrededor del c.d.m:

 
La única fuerza útil es F, por tanto la esfera subirá por la rampa girando en el sentido de las agujas del reloj.
 
Momento del torque:
 
 
Las fuerzas m g sen φ, m g cos φ y F están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
 
Mm g sen φ = 0      Mm g cos φ= 0      MF = 0
 
Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:
 
 
 
 
De todo lo anterior se obtienen el siguiente sistema:

 
 
 

Como el cilindro rueda sin resbalar: a = α r, luego:
 
 
Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje: I = (1/2) m R2
 
Sustituyendo en la última expresión y simplificando, se tiene:
 
 
Dimensionalmente:
 
 
 

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