Rodadura del sólido rígido. Poleas 03

 
Calcula la velocidad angular de la doble polea, la lineal de los bloques y las tensiones de la cuerda.
 
 

Datos: m1 = 4 kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm. Momento de inercia de la doble polea: I = 2 kg · m2.

 Solución:
 

 
Datos:
 
m1 = 4 kg; m2 = 2 kg; R1 = 20 cm; R2 = 60 cm; I = 2 kg · m2
 
Sentido de giro:
 
Sistema en reposo:
 
T1 = m1 g                     T2 = m2 g

 

Momento del torque sobre la polea:
 
 
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

 


Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, ya que, según los datos del problema, R2 m2 > R1 m1.
 
   Sistema en movimiento:
 
   Rotación de la polea:
 
 
 El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

 

  

POLEAS 03

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto: 

 

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:
 
R2 T2 – R1 T1 = I α
 
 
Traslación de los bloques:
 
Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.
 
T1 – m 1 g = m1 a1
 

–T2 + m2 g = m2 a2

 Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.           

 
Relación entre las magnitudes angulares y lineales:
 
Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:
 
d = φ r (Definición de radián)
 
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:
 
            

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.
 
Relación entre traslación y rotación:
 
a1 = α R1        a2 = α R2

Por tanto tenemos el siguiente sistema:
 
 
Ahora se puede resolver por Cramer:
 
 
 

 

 

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