Rodadura del sólido rígido. Poleas 02

 

Calcula la aceleración angular de la polea (masa homogénea), la lineal del bloque y la tensión de la cuerda.

 

 

Solución:

 
Datos: v0 = 0; ω0 = 0
 
 
Sentido de giro:
 
Sistema en reposo:
 
T = m g

 

 
Momento del torque sobre la polea:
 
M = MT + MN + MM g
 
 
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, por tanto:
 
M = R m g + 0 + 0 = R m g
 
Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj, cosa que es evidente ya que no hay otra posibilidad.
 
En cuanto la polea empiece a girar, cambiará la tensión en el extremo de la cuerda y ya no será igual al peso del bloque.
 
 
 
Rotación de la polea:
 
Momento del torque:
 
M = MT + MN + MM g
 
Como ya se ha dicho anteriormente, el peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

 
Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.
 
Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:
 
R T = I α
 
 
Traslación del bloque:
 
m g – T = m a
 
Combinando las dos últimas expresiones anteriores resulta el siguiente sistema:

 

 
Ahora se debe poner la aceleración de traslación a en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.
 
 
Relación entre las magnitudes angulares y lineales:
 
Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre éstas dos magnitudes es:
 
d = φ r (Definición de radián)
 
Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

                                       

 

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

 

Aplicando al sistema obtenido anteriormente:

 

 
Despejando T en la primera ecuación y sustituyendo en la segunda:  
 
 
 
Momento de inercia de una polea homogénea, respecto a un eje perpendicular a su centro:
 
 
 

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