Rodadura del sólido rígido. Cilindro 01

 

 

 

Mediante la fuerza F se hace rodar sin deslizar un cilindro homogéneo (Masa: m, Radio: R), por una superficie horizontal con coeficiente de rozamiento μ. Determina:

 a) La aceleración de traslación del cilindro.
 
b) El máximo valor de F para que no deslice el cilindro.

 

 

Solución:

 

a)      La única fuerza útil es F, por tanto el cilindro se moverá hacia la derecha y girará en el sentido de las agujas del reloj.
 
La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a F.
  
 
Traslación del c.d.m:
 
N = m g            F – Fr = m a
 
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

 

 
Rotación alrededor del c.d.m:
 
Momento del torque (momento de una fuerza):
 
 
El peso del cilindro y la fuerza F están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
 
MF = 0            Mm g = 0
 
 

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal: 

MN = R N sen 180º = 0
 

 

 Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

 
Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:

 

M = I α → R Fr = I α

 

Relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R

 
 Combinado las expresiones anteriores se obtiene un sistema de tres ecuaciones:  
 
 
 
Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje: I = (1/2) m R2
 
Sustituyendo en las expresiones anteriores:

 
Otra forma de enfocar el problema es el siguiente, como nos piden una aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero hay que hallar la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:
 

Ahora hemos de calcular el momento del torque. 

La única fuerza útil es F, por tanto el cilindro se moverá hacia la derecha y girará en el sentido de las agujas del reloj.
 
La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a F.
 
 
Rotación alrededor del c.d.m:
Momento del torque:
 
El peso del cilindro y la fuerza F están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
 
MF = 0            Mm g = 0

 

   Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

 

 

 

 

 

 

 Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

 

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

 

 
Ahora se debe hallar el valor de la fuerza de rozamiento.
 
 
Traslación del c.d.m:
 
 
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.
 
 

 

 
Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje: I = (1/2) m R2
 
Sustituyendo en las expresiones anteriores:

 

Como se puede observar, se ha obtenido el mismo resultado.

 

 b)      La fuerza de rozamiento para que el cilindro ruede sin deslizar vale: Fr = F/3. Por tanto, al aumentar la fuerza aplicada tendrá que aumentar la fuerza de rozamiento, pero la fuerza de rozamiento tiene un límite: Fr,máx = μ N = μ m g, luego la máxima fuerza F es aquella a la que corresponde la fuerza de rozamiento máxima, es decir:

 
Fmáx = 3 Fr,máx = 3 μ m g
 
Si la fuerza aplicada supera este valor, el cilindro se trasladará y girará pero no acompasadamente, es decir el punto de contacto con el suelo no estará en reposo.

 

 

 

 

 

 
 
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Deja un comentario

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo