Teorema de conservación de la energía. Plano vertical 08

 

Una pelota de masa m gira en un plano vertical unida a una cuerda de longitud L. Suponiendo constante su energía mecánica, calcula la diferencia entre las tensiones de la cuerda en el punto más bajo y alto de la trayectoria.

 

 

Solución:

Cálculo de las tensiones.

Fuerzas que actúan sobre la pelota en el punto más bajo:

T – mg = m an → T – mg = m (v2/L)

Fuerzas que actúan sobre la pelota en el punto más alto:

T’ + mg = m an → T’ + mg = m (v’2/L)

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T – mg = m (v2/L)

T’ + mg = m (v’2/L)

T – m g – T’ – m g = m (v2/L) – m (v’2/L)

T – T’ – 2 m g = m (v2/L) – m (v’2/L)

 T – T’ = m (v2/L) – m (v’2/L) + 2 m g

T – T’ = m [(v2/L) – (v’2/L) + 2 g]

T – T’ = m [(v2 – v’2)/L) + 2 g]

Para hallar la diferencia de cuadrados de velocidades utilizaremos el principio de la conservación de la energía:

W = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Como la energía de la pelota es constante, el trabajo sobre ella tiene que ser cero (El trabajo del peso no es nulo pero no se cuenta)

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v

La altura inicial, hin, está indeterminada ya que no se conoce la posición del suelo, pero en realidad no importa dónde esté el suelo porque lo que cuenta es el cambio de altura.

Estado final:

Vfin = v’

Con la altura final, hfin, ocurre lo mismo que con la altura inicial.

ΔEc = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2

ΔEp = m g hfin – m g hin =  m g (hfin – hin)

hfin = 2L + hin

hfin – hin = 2L

 ΔEp = 2 L m g

Haciendo las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación, tenemos que:

0 = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2 + 2 L m g

0 = v’2 – v2 + 4 L g

v2 – v’2 = 4 L g

Sustituyendo en la expresión de la diferencia de tensiones:

T – T’ = m [(4 L g/L) + 2 g]

T – T’ = m (4 g + 2 g) = 6 m g

 

 

 

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