Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 18

 

Desde el punto más alto de una rampa de 60 m de longitud y 10º de inclinación se lanza hacia abajo un bloque a 5 m/s. Siendo el coeficiente de rozamiento entre bloque y superficie 0,2. Calcula la velocidad con que llegará al final de la rampa.

 

 

Solución:

Datos: L = 60 m; α = 10º; v0 = 5 m/s; μ = 0,2

Principio de conservación de la energía:

ΣW = ΔEc + ΔEp

 

Calculo del trabajo.

ΣW = Wmg + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.

La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Wr = –µ m g L cos α

Los ángulos α son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Cambios de energía.

Estado inicial:

v1 = v0                   h1 = h

Estado final:

v2 = v          h2 = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – (1/2) m v02

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

sen α = h/L → h = L sen α

ΔEp = –m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g L cos α = (1/2) m v2 – (1/2) m v02 – m g L sen α

–2 µ g L cos α = v2 – v02 – 2 g L sen α

v2 = v02 + 2 g L sen α – 2 µ g L cos α

La solución imaginaria indica que no puede darse la situación planteada, es decir, el bloque no llega al final de la rampa… ¿Cómo puede ocurrir esto?

Se puede observar que tg 10º = 0,18, mientras que μ = 0,2; o sea, hay poca pendiente para tanto rozamiento. Esto implica que si se abandonase el bloque en lo alto de la rampa no empezaría a bajar, pero como se impulsa hacia abajo, el bloque baja frenando y se detiene antes de llegar al final de la rampa.

Para averiguar la distancia que recorre por la rampa bastará con hacer v = 0 en la expresión obtenida:


0 = v02 + 2 g L (sen α – μ cos α)

2 g L (sen α – μ cos α) = –v02

L = –v02/2 g (sen α – μ cos α)

L = –(5 m/s)2/2·(9,8 m/s2)·(sen 10º – 0,2·cos 10º= 54,7 m 

 

 

 

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