El Sapo Sabio

 

Por Energía.

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a la fuerza F, a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

SW = W_mg + W_F + W_N + W_r

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

W_r = F_r L cos 180º = –µ N L

Pero, según ya hemos visto, F_r = μ N = μ (m g cos α – F sen α) luego:

W_r = –μ F_r = μ N = μ (m g cos α – F sen α) L

Trabajo realizado por la fuerza F:

Los ángulos indicados son iguales por tener lados paralelos.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

W_F = F L cos α

Por tanto.

SW = F L cos α – μ (m g cos α – F sen α) L

Cambios de energía.

Estado inicial:

El bloque baja por la rampa y llega al final con velocidad v.

v_in = v₀ = 0             h_in = h

Estado final:

v_fin = v                   h_fin = 0

ΔEc =  (1/2) m v² – 0 = (1/2) m v²

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

sen α = h/L → h = L sen α

  ΔEp = –m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación, tenemos que:

F L cos α – μ (m g cos α – F sen α) L = (1/2) m v² – m g L sen α

(1/2) m v² = F L cos α – μ (m g cos α – F sen α) L + m g L sen α

(1/2) m v² = L [F cos α – μ (m g cos α – F sen α) + m g sen α]

(1/2) m v² = L (F cos α – μ m g cos α + μ F sen α + m g sen α)

(1/2) m v² = L [F (cos α + μ sen α) + m g (sen α – μ cos α)]

v² = 2 L [F (cos α + μ sen α) + m g (sen α – μ cos α)]/m

Como ya se ha dicho anteriormente, podemos saber si la expresión hallada es correcta mediante la ecuación de dimensiones.

Luego si es correcta.