Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 15

 

Desde el punto más bajo de un plano inclinado 30º se lanza hacia arriba un bloque a 5 m/s. Siendo el coeficiente de rozamiento entre bloque y superficie 0,2 determina cuánto recorrerá el bloque hasta detenerse.

Una vez detenido, ¿deslizará hacia abajo? En caso afirmativo, calcula la velocidad con que llegará al punto de partida ¿Tarda lo mismo en subir que en bajar?

 

 

Solución:

Datos: α = 30º; v0 = 5 m/s; μ = 0,2

Principio de conservación de la energía:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida el bloque está sometido a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

ΣW = WP + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso (Wp) no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.

WN = N L cos 90º = 0

La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.

Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento:

Wr = μ N L cos 180º = –μ P L cos  α = –μ m g L cos α

Los ángulos a son iguales por tener sus lados perpendiculares.

Cambio de energía cinética:

ΔEc = Ec (2) – Ec (1) = 0 – (1/2) m v02 = –(1/2) m v02

Cambio de energía potencial:

ΔEp = Ep (2) – Ep (1) = m g h – 0 = m g h

sen α = h/L → h = L sen α

ΔEp = m g L sen α

–μ m g L cos α = –(1/2) m v02 + m g L sen α

(1/2) m v02 = m g L sen α + μ m g L cos α

(1/2) v02 = g L sen α + μ g L cos α

(1/2) v02 = g L (sen α + μ cos α)

v02 = 2 g L (sen α + μ cos α)

L = v02/2 g (sen α + μ cos α)

Supongamos que el cuerpo desliza hacia abajo.

Según Dinámica:

Fuerzas que actúan sobre el cuerpo y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N – P cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

P sen α – Fr = m a m g sen α – Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen αμ m g cos α = m a

g sen αμ g cos α = a

 a = g (sen αμ cos α)

a = (9,8 m/s2)·(sen 30º 0,2·cos 30º) = 3,2 m/s2

Este resultado confirma la hipótesis de que el bloque desliza hacia abajo.

Para hallar la velocidad con que llegará al punto de partida podemos utilizar las expresiones de Cinemática.

Ecuaciones del movimiento:

v = a t                   L = (1/2) a t2

t = v/a → L = (1/2) a (v/a)2 = v2/2 a

v2 = 2 L a

Continuando con Cinemática, tiempo que tarda en subir:

0 = v0 + a1 t1          L = v0 t1 + (1/2) a1 t12

a1 = –v0/t1   L = v0 t1 + (1/2)·(–v0/t1)·t12

L = v0 t1 – (1/2)·v0 t1 = (1/2)·v0 t1

t1 = 2 L/v0 = 2·1,9 m/(5m/s) = 0,76 s

Tiempo que tarda en bajar:

t2 = v/a = (3,5 m/s)/(3,2 m/s2) = 1,09 s

El bloque no tarda el mismo tiempo en subir que en bajar.

 

 

 

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