Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 13

 

Un cuerpo lanzado con velocidad v0 a lo largo de un plano se para después de recorrer 6 m si el plano está inclinado 60º respecto a la horizontal y después de recorrer 20 m si el plano está horizontal. Halla la velocidad v0 y el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano.

 

 

Solución:

Datos: L1 = 6 m α = 60º; L2 = 20 m → α’ = 0

Consideremos el caso general de un bloque que se lanza con velocidad v0 por una rampa de ángulo α y recorre una distancia L hasta detenerse.

Principio de conservación de la energía:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Durante  la subida el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (Fr) y a la normal de la superficie (N).

ΣW = Wmg + WN + Wr

El trabajo realizado por el peso Wmg no se cuenta, pues está incluido en la variación de energía potencial.

La normal es perpendicular al desplazamiento por tanto no hace trabajo alguno.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = – µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

Luego:

Wr = –µ m g L cos α

Por tanto:

ΣW = –µ m g L cos α

Cambios de energía.

Estado inicial:

El bloque sube por la rampa y llega al final con velocidad cero.

vin = v0         hin = 0

Estado final:

vfin = 0         hfin = h

ΔEc = 0 – (1/2) m v02 = –(1/2) m v02

ΔEp = m g h – 0 = m g h

sen α = h/L → h = L sen α

  ΔEp = m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g L cos α = –(1/2) m v02 + m g L sen α

–2 µ g L cos α = –v02 + 2 g L sen α

Aplicando la expresión hallada a los casos primero y segundo, se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

 

 

 

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