Teorema de conservación de la energía. Plano inclinado 11

 

Se lanza un bloque con velocidad v0 hacia arriba por una rampa de ángulo α y coeficiente de rozamiento µ. El bloque sube hasta detenerse y vuelve al punto de partida, determina la velocidad con que llega.

 

 

Solución:

Subida:

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida el bloque está sometido a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = – µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

Por lo tanto:

Wr = –µ m g L cos α

Cambios de energía:

Estado inicial:

El bloque sube por la rampa y llega al final con velocidad cero.

vin = v0         hin = 0

Estado final:

vfin = 0         hfin = h

ΔEc = 0 – (1/2) m v02 = –(1/2) m v02

ΔEp = m g h – 0 = m g h

sen α = h/L → h = L sen α

  ΔEp = m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g L cos α = –(1/2) m v02 + m g L sen α

–µ g L cos α = –(1/2) v02 + g L sen α

Bajada:

El bloque baja por la rampa y llega al final con velocidad v.

Aplicando el principio de conservación:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada el bloque está sometido a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = Fr L cos 180º = –µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

Por lo tanto:

Wr = –µ m g L cos α

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = 0          hin = h

Estado final:

vfin = v                   hfin = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

sen α = h/L → h = L sen α

ΔEp = –m g L sen α

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g L cos α = (1/2) m v2 – m g L sen α

–µ g L cos α = (1/2) v2 – g L sen α

Combinando los resultados obtenidos en la subida y la bajada se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

 (1/2) v2 = (1/2) v02 – 2 µ g L sen α

v2 = v02 – 4 µ g L sen α

También se podía haber realizado teniendo en cuenta que la energía cinética que posee el bloque a la salida de  la rampa, ha de ser igual a la energía cinética que tiene al regresar al punto de partida más el trabajo de rozamiento en la subida y en la bajada de la rampa, es decir:

Ec (1) = Ec (2) + Wr,1 + Wr,2

(1/2) m v02 = (1/2) m v2 + µ m g L cos α + µ m g L cos α

v02 = v2 + 2 µ g L cos α + 2 µ g L cos α

v2 = v02 – 2 µ g L cos α – 2 µ g L cos α

v2 = v02 – 4 µ g L cos α

Ahora nos falta saber la distancia, L, que recorre el bloque:

De Cinemática tenemos que:

v = v0 + at             L = v0 t + (1/2) a t2

Aplicando al recorrido del bloque en la subida v = 0, por lo tanto:

0 = v0 + at → t = –v0/a

L = v0 (–v0/a) + (1/2) a (–v0/a)2

L = –v02/a + v02/2a = –v02/2a

Según Dinámica:


Fuerzas normales:

N – mg cos α = 0 → N = mg cosα

Fuerzas tangenciales:

–m g sen α – Fr = m a → –m g sen α – µ N = m a

–m g sen α – µ m g cos α = m a

a = –g (sen α + µ cos α)

Sustituyendo en la última ecuación de Cinemática:

L = –v02/2[–g (sen α + µ cos α)]

L = v02/2g (sen α + µ cos α)

Sustituyendo en la última expresión de la velocidad:

v2 = v02 – 4 µ g·cos α·[ v02/2g (sen α + µ cos α)]

v2 = v02 – 2 µ v02·cos α/(sen α + µ cos α)


 

 

 

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