El Sapo Sabio

 

Se hace subir un cuerpo por una rampa de ángulo a aplicándoles una fuerza igual a su peso y paralela a la rampa. Siendo µ el coeficiente de rozamiento entre bloque y rampa, calcula la distancia que habrá recorrido cuando su velocidad sea v.

 

 

Solución:

Datos: a, F = m g, μ, v, v₀ = 0

Principio de conservación de la energía:

SW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Durante  la subida el bloque está sometido a su peso (m g), al rozamiento (F_r), a la normal de la superficie (N) y a la fuerza F.

SW = W_mg + W_r + W_N + W_F

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la fuerza F:

W_F = F L cos 0º = F L = m g L

Trabajo realizado por el rozamiento:

W_r = F_r L cos 180º = – µ N L

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g cos α

Por lo tanto:

W_r = –µ m g L cos α

Luego:

SW = m g L – µ m g L cos α

Cambios de energía.

Energía cinética:

∆Ec = Ec₂ – Ec₁ = (1/2) m v² – (1/2) m v₀²

∆Ec = (1/2) m v² – 0

∆Ec = (1/2) m v²

Energía potencial:

∆Ep = Ep₂ – Ep₁ = m g h – 0

∆Ep = m g h

Sustituyendo en la expresión del principio de conservación:

m g L – µ m g L cos α = (1/2) m v² + m g h

Ahora bien:

sen α = h/L → h = L sen α

luego:

m g L – µ m g L cos α = (1/2) m v² + m g L sen α

g L – µ g L cos α = (1/2) v² + g L sen α

g L – µ g L cos α – g L sen α = (1/2) v²

(1 – µ cos α – sen α) g L = (1/2) v²

L = v²/2 g (1 – µ cos α – sen α)