Teorema de conservación de la energía. Plano horizontal y polea 03

 

Calcula la velocidad adquirida por los bloques cuando el bloque 1 se desplace una distancia d, partiendo del reposo. Ambos bloques tienen la misma masa y el coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y superficie vale μ.

 

 

Solución:

Si el problema no da los datos de la polea se sobreentiende que su masa es despreciable. En este caso no se tiene en cuenta la rotación de la polea y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T3 = 2 T2                T2 = m g

Como la polea fija solo está sometida a la fuerza T3, al dejar el sistema en libertad esta girará en sentido al de las agujas del reloj.

Si el bloque 1 se desplaza un espacio d con una velocidad v1, la polea móvil descenderá la misma distancia y entonces tendrá que disminuir en d la longitud de la cuerda en cada lado de la misma. Por tanto el bloque 2 desciende un espacio 2d, es decir: d2 = 2d.

Derivando con respecto al tiempo:

v2 = 2v1        y        a2 = 2a1

El espacio, la velocidad y la aceleración del bloque unido a la polea móvil son el doble de las del bloque unido a la cuerda que pasa por dicha polea.

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Bloque 1:

ΣW = Wmg + WN + WT1 + Wr

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp1.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la tensión (WT1):

WT1 = T1 d cos 0º = T1 d

Trabajo realizado por la fuerza de  rozamiento.

Wr = Fr d cos 180º = –µ N d = –µ m g d

Bloque 2:

ΣW = Wmg + WT2

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp2.

Trabajo realizado por la tensión (WT2):

WT = T2 2 d cos 180º = –2 T2 d

Trabajo total:

ΣW = T1 d – µ m g d – 2 T2 d

Sistema en movimiento:

2 T2 – T1 = 0·a (La polea móvil no tiene masa)

T1 = 2 T2

La tensión de la cuerda unida a la polea móvil es el doble de la tensión de la cuerda que pasa por dicha polea. Por tanto:

ΣW = 2 T2 d – µ m g d – 2 T2 d = –µ m g d

Cálculo de las energías.

Estado inicial:

v1,0 = 0         v2,0 = 0

Estado final:

v1 = v          v2 = 2 v       

Se desconocen las alturas iniciales y finales.

ΔEc = [Ec1 (final) – Ec1 (inicial)] + [Ec2 (final) – Ec2 (inicial)]

ΔEc = [(1/2) m v2 – 0] + [(1/2) m (2 v)2 – 0]

ΔEc = (1/2) m v2 + (1/2) m·4 v2 = (5/2) m v2

ΔEp = [Ep1 (final) – Ep1 (inicial)] + [Ep2 (final) – Ep2 (inicial)]

ΔEp = 0 + m g (h2 – h2,0) = m g (–2 d) = –2 d m g 

De todo lo anterior se tiene que:

–µ m g d = (5/2) m v2 – 2 d m g 

–µ g d = (5/2) v2 – 2 d g 

(5/2) v2 = 2 d g – µ g d

(5/2) v2 = g d (2 – µ)

 v2 = (2/5) g d (2 – µ)

 

 

 

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