Teorema de conservación de la energía. Plano horizontal y polea 03
Calcula la velocidad adquirida por los bloques cuando el bloque 1 se desplace una distancia d, partiendo del reposo. Ambos bloques tienen la misma masa y el coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y superficie vale μ.
Solución:
Si el problema no da los datos de la polea se sobreentiende que su masa es despreciable. En este caso no se tiene en cuenta la rotación de la polea y solo se estudia la traslación de los bloques.
Sentido del movimiento.
Sistema en reposo:
T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)
T3 = 2 T2 T2 = m g
Como la polea fija solo está sometida a la fuerza T3, al dejar el sistema en libertad esta girará en sentido al de las agujas del reloj.
Si el bloque 1 se desplaza un espacio d con una velocidad v1, la polea móvil descenderá la misma distancia y entonces tendrá que disminuir en d la longitud de la cuerda en cada lado de la misma. Por tanto el bloque 2 desciende un espacio 2d, es decir: d2 = 2d.
Derivando con respecto al tiempo:
v2 = 2v1 y a2 = 2a1
El espacio, la velocidad y la aceleración del bloque unido a la polea móvil son el doble de las del bloque unido a la cuerda que pasa por dicha polea.
Aplicando el principio de conservación:
ΣW = ΔEc + ΔEp
Cálculo del trabajo.
Bloque 1:
ΣW = Wmg + WN + WT1 + Wr
El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp1.
El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.
Trabajo realizado por la tensión (WT1):
WT1 = T1 d cos 0º = T1 d
Trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
Wr = Fr d cos 180º = –µ N d = –µ m g d
Bloque 2:
ΣW = Wmg + WT2
El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp2.
Trabajo realizado por la tensión (WT2):
WT = T2 2 d cos 180º = –2 T2 d
Trabajo total:
ΣW = T1 d – µ m g d – 2 T2 d
Sistema en movimiento:
2 T2 – T1 = 0·a (La polea móvil no tiene masa)
T1 = 2 T2
La tensión de la cuerda unida a la polea móvil es el doble de la tensión de la cuerda que pasa por dicha polea. Por tanto:
ΣW = 2 T2 d – µ m g d – 2 T2 d = –µ m g d
Cálculo de las energías.
Estado inicial:
v1,0 = 0 v2,0 = 0
Estado final:
v1 = v v2 = 2 v
Se desconocen las alturas iniciales y finales.
ΔEc = [Ec1 (final) – Ec1 (inicial)] + [Ec2 (final) – Ec2 (inicial)]
ΔEc = [(1/2) m v2 – 0] + [(1/2) m (2 v)2 – 0]
ΔEc = (1/2) m v2 + (1/2) m·4 v2 = (5/2) m v2
ΔEp = [Ep1 (final) – Ep1 (inicial)] + [Ep2 (final) – Ep2 (inicial)]
ΔEp = 0 + m g (h2 – h2,0) = m g (–2 d) = –2 d m g
De todo lo anterior se tiene que:
–µ m g d = (5/2) m v2 – 2 d m g
–µ g d = (5/2) v2 – 2 d g
(5/2) v2 = 2 d g – µ g d
(5/2) v2 = g d (2 – µ)
v2 = (2/5) g d (2 – µ)