El Sapo Sabio

 

Calcula la velocidad adquirida por los bloques cuando el bloque 1 se desplace una distancia d, partiendo del reposo. Ambos bloques tienen la misma masa y el coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y superficie vale μ.

 

 

Solución:

Si el problema no da los datos de la polea se sobreentiende que su masa es despreciable. En este caso no se tiene en cuenta la rotación de la polea y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:

T₁ = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T₃ = 2 T₂                T₂ = m g

Como la polea fija solo está sometida a la fuerza T₃, al dejar el sistema en libertad esta girará en sentido al de las agujas del reloj.

Si el bloque 1 se desplaza un espacio d con una velocidad v₁, la polea móvil descenderá la misma distancia y entonces tendrá que disminuir en d la longitud de la cuerda en cada lado de la misma. Por tanto el bloque 2 desciende un espacio 2d, es decir: d₂ = 2d.

Derivando con respecto al tiempo:

v₂ = 2v₁        y        a₂ = 2a₁

El espacio, la velocidad y la aceleración del bloque unido a la polea móvil son el doble de las del bloque unido a la cuerda que pasa por dicha polea.

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Bloque 1:

ΣW = W_mg + W_N + W_T1 + W_r

El trabajo realizado por el peso (W_mg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp₁.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por la tensión (W_T1):

W_T1 = T₁ d cos 0º = T₁ d

Trabajo realizado por la fuerza de  rozamiento.

W_r = F_r d cos 180º = –µ N d = –µ m g d

Bloque 2:

ΣW = W_mg + W_T2

El trabajo realizado por el peso (W_mg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp₂.

Trabajo realizado por la tensión (W_T2):

W_T = T₂ 2 d cos 180º = –2 T₂ d

Trabajo total:

ΣW = T₁ d – µ m g d – 2 T₂ d

Sistema en movimiento:

2 T₂ – T₁ = 0·a (La polea móvil no tiene masa)

T₁ = 2 T₂

La tensión de la cuerda unida a la polea móvil es el doble de la tensión de la cuerda que pasa por dicha polea. Por tanto:

ΣW = 2 T₂ d – µ m g d – 2 T₂ d = –µ m g d

Cálculo de las energías.

Estado inicial:

v_1,0 = 0         v_2,0 = 0

Estado final:

v₁ = v          v₂ = 2 v       

Se desconocen las alturas iniciales y finales.

ΔEc = [Ec₁ (final) – Ec₁ (inicial)] + [Ec₂ (final) – Ec₂ (inicial)]

ΔEc = [(1/2) m v² – 0] + [(1/2) m (2 v)² – 0]

ΔEc = (1/2) m v² + (1/2) m·4 v² = (5/2) m v²

ΔEp = [Ep₁ (final) – Ep₁ (inicial)] + [Ep₂ (final) – Ep₂ (inicial)]

ΔEp = 0 + m g (h₂ – h_2,0) = m g (–2 d) = –2 d m g 

De todo lo anterior se tiene que:

–µ m g d = (5/2) m v² – 2 d m g 

–µ g d = (5/2) v² – 2 d g 

(5/2) v² = 2 d g – µ g d

(5/2) v² = g d (2 – µ)

 v² = (2/5) g d (2 – µ)