Teorema de conservación de la energía. Plano horizontal y polea 02

 

En el sistema de la figura los bloques se encuentran en reposo y el muelle tiene su longitud natural. Dejando en libertad el sistema los bloques comienzan a moverse, determina cuánto recorrerán hasta detenerse de nuevo.

Coeficiente de rozamiento del bloque y el plano horizontal: μ. Constante del muelle: k.

 

 

Solución:

Si el problema no da los datos de la polea se sobreentiende que su masa es despreciable. En este caso no se tiene en cuenta la rotación de la polea y solo se estudia la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento.

Sistema en reposo:


T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T2 = P2 = m2 g = m g

Como la polea únicamente está sometida a la fuerza T2, al dejar el sistema en libertad, ésta girará en el sentido de las agujas del reloj, luego el bloque 2 se desplazará un espacio d hacia abajo con una velocidad v y el bloque 1 recorrerá  la misma distancia hacia la derecha con igual velocidad que el bloque 1 (no habría otra posibilidad), hasta detenerse y entonces el muelle se habrá alargado una distancia d.

Aplicando el principio de conservación:

ΣW =ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Bloque 1:

ΣW = Wmg + WN + WT + Wr + WFE

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp1.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

El trabajo realizado por el muelle (WFE)  no se cuenta ya que está incluido en la energía potencial elástica.

Trabajo realizado por la tensión (WT):

WT = T d cos 0º = T d

Trabajo realizado por la fuerza de  rozamiento.

Wr = Fr d cos 180º = –µ N d = –µ m g d

Bloque 2:

ΣW = Wmg + WT

El trabajo realizado por el peso (Wmg) no se cuenta ya que está incluido en ΔEp2.

Trabajo realizado por la tensión (WT):

WT = T d cos 180º = –T d

Trabajo total:

ΣW = T d – µ m g d – T d =  –µ m g d

Cálculo de las energías.

Estado inicial:

v1,0 = 0         v2,0 = 0

Estado final:

v1 = 0          v2 = 0

Se desconocen las alturas iniciales y finales.

ΔEc = [Ec1 (final) – Ec1 (inicial)] + [Ec2 (final) – Ec2 (inicial)]

ΔEc = 0 (El sistema inicial y finalmente está parado)

ΔEp = [Ep1 (final) – Ep1 (inicial)] + [Ep2 (final) – Ep2 (inicial)]

ΔEp = m g (h1 – h1,0) + m g (h2 – h2,0)

ΔEp = m g·0 + m g (h2 – h2,0) = m g (h2 – h2,0)

Según la figura:

h2,0 = h2 + d –d = h2 – h2,0

Sustituyendo en la ecuación de la energía potencial:

ΔEp = m g (–d) = –m g d

Energía potencial elástica:

ΔEpelástica = (1/2) k d2 – 0 = (1/2) k d2

De todo lo anterior se tiene que:

–µ m g d = 0 – m g d + (1/2) k d2

(1/2) k d2 – m g d + µ m g d = 0

[(1/2) k d – m g + µ m g] d = 0

De la ecuación obtenida tenemos que:

Primera solución d = 0.

Segunda solución:

(1/2) k d + m g (–1 + µ) = 0

(1/2) k d = –m g (–1 + µ)

d = 2 m g (1 – µ)/k

 

 

 

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