Teorema de conservación de la energía. Energía elástica 04

 

Un bloque de 1 kg, en reposo sobre una superficie horizontal, está en contacto con un muelle de constante 2 kp/cm comprimido 5 cm. Siendo el coeficiente de rozamiento 0,1; calcular la velocidad que tomará el bloque al liberar el muelle.

 

 

Solución:

Datos: m = 10 kg; v0 = 0; k = 2 kp/cm; d = 5 cm; µ = 0,1

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

ΣW = WP + WN + Wr + WFE

El trabajo realizado por el peso (WP) no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

WN = N d cos 90º = 0

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

El trabajo realizado por el muelle (WFE)  no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía elástica.

Trabajo realizado por la fuerza de  rozamiento.

Wr = Fr d cos 180º = –µ N d

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

N = m g

Por tanto:

Wr = –µ m g d

Cambios de energía.

Estado inicial:

V0 = 0          h0 = 0          d0 = d

Estado final:

v1 = v          h1 = 0          d1 = 0

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = 0

ΔEE = 0 – (1/2) k d2 = –(1/2) k d2

Haciendo las debidas sustituciones en la ley de conservación:

–µ m g d = (1/2) m v2– (1/2) k d2

0 = (1/2) m v2– (1/2) k d2 + µ m g d

0 = (1/2) m v2 – [(1/2) k d + µ m g] d

Vamos a realizar una aproximación para simplificar la anterior expresión:

(1/2) k d >> µ m g → [(1/2) k d + µ m g] » (1/2) k d

Estamos suponiendo que la fuerza media del muelle al expandirse, es mucho mayor que la fuerza de rozamiento. En este caso podemos comprobar la veracidad de la hipótesis utilizando los valores numéricos:

FE = (1/2) k d = (1/2)·(2 kp/cm)·(9,8 N/kp)·5 cm = 49 N

µ m g = 0,1·1 kg·9,8 (m/s) = 0,98 N

La fuerza media del muelle es unas 50 veces mayor que la del rozamiento, o sea,  que el error cometido, con la aproximación que se pretende hacer, es mínimo. Luego la suposición es aceptable.

Por lo tanto podemos escribir:

0 = (1/2) m v2 – (1/2) k d2

El resultado obtenido nos indica que toda la energía elástica almacenada en el muelle, se convierte en energía cinética del bloque. No se pierde, prácticamente, nada por rozamiento.

(1/2) m v2 = (1/2) k d2

m v2 = k d2

Podemos comprobar si la expresión hallada es correcta mediante la ecuación de dimensiones.

Luego sí es correcta.

Fuerza media del muelle:

Un muelle que tiene su longitud natural no hace fuerza y cuando tiene una deformación d hace una fuerza: k·d.

La fuerza media que hace un muelle al estirarse una distancia d viene dada por:

FE = (k d + 0)/2 = k d/2

 

 

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