Teorema de conservación de la energía. Energía elástica 02

 

Un muelle de constante 200 N/m cuelga verticalmente. Se une a su extremo libre una masa de 10 kg y se deja caer. Determina:

a)  Cuánto se estirará el muelle hasta detener el bloque.

b)  Velocidad de la masa al pasar por la posición de equilibrio.

c)  Elongación del muelle cuando la velocidad de la masa es de 1 m/s.

 

 

Solución:

Datos: k = 200 N/m; m = 10 kg

a)  Principio de conservación de la energía:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo.

Durante la caída el bloque sólo está sometido al peso y a la fuerza elástica, cuyos trabajos ya están incluidos en las variaciones de las energías potencial y elástica. Por tanto, ΣW = 0.         

Cambios de energía.

Estado inicial:

v1 = 0          d1 = 0

Ec1 = 0

Ep1 = m g h1

EE,1 = 0

Estado final:

v2 = 0          d2 = d

Ec2 = 0

Ep2 = m g h2

EE,2 = (1/2) k d2

ΔEc = 0 – 0 = 0

ΔEp = m g h2 – m g h1 = m g (h2 – h1)

h1 = d + h2 –d = h2 – h1

ΔEp = m g (–d) = –m g d

ΔEE = (1/2) k d2 – 0 = (1/2) k d2

Sustituyendo en la expresión de la conservación de la energía tenemos que:

0 = 0 – m g d + (1/2) k d2

m g d – (1/2) k d2 = 0

 d [m g – (1/2) k d] = 0

Primera solución:

d = 0

Segunda solución:

m g – (1/2) k d = 0

2 m g – k d = 0

k d = 2 m g

d = 2 m g/k

Se han obtenido dos soluciones, ya que lo que se ha calculado es la elongación del muelle cuando la velocidad del bloque es cero. Esto ocurre en el momento de liberar el bloque (d = 0) y cuando éste se detiene en su caída (d = 2 m g/k).

d = 2·10 kg·(9,8 m/s2)/200 (N/m) = 196 N/200 (N/m) = 0,98 m

b)  En este caso vale todo lo visto en el apartado anterior excepto que v2 = v, por tanto:

Cambios de energía:

ΔEc = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = –m g d

ΔEE = (1/2) k d2

0 = (1/2) m v2 – m g d + (1/2) k d2

         m v2 = 2 m g d – k d2

v2 = 2 g d – (k/m) d2        

En la posición de equilibrio se compensan la fuerza elástica y el peso del cuerpo, por tanto la correspondiente elongación de muelle es:

FE = m g k d = m g d = m g/k

Por tanto:

c)  Para resolver este apartado se ha de utilizar la expresión hallada inicialmente en b) y que en este caso: v2 = v = 1 m/s.

0 = (1/2) m v2 – m g d + (1/2) k d2

k d2 – 2 m g d + m v2 = 0


A la vista del resultado hallado, cabría preguntar por qué se han obtenido dos soluciones distintas, es decir, que el bloque tiene la misma velocidad en dos lugares diferentes. Esto es debido a que inicialmente el bloque no tiene velocidad y al finalizar la caída tampoco porque se para. Si la velocidad cambia de cero a cero, habrá crecido desde 0 hasta un máximo y luego decrecido hasta 0, por tanto cualquier valor de la velocidad, inferior al máximo, lo habrá tenido dos veces.

Una explicación más sencilla es la siguiente:

El bloque realiza un movimiento armónico, por lo que en cada oscilación tendrá el mismo valor de la velocidad en dos posiciones diferentes, que son simétricas respecto a la posición de equilibrio. Comprobemos esto.

Posición de equilibrio:

En la posición de equilibrio se compensan la fuerza elástica y el peso.

La correspondiente elongación del muelle es:

k d = m g → d = m g/k

d = 10 kg· (9,8 m/s2)/(200 N/m) = 0,49 m

La elongación correspondiente a la posición de equilibrio es 0,49 m

En la figura se puede comprobar que las posiciones donde la velocidad vale lo mismo, en módulo, están a 0,44 m del origen, una a cada lado.

 

 

 

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