Teorema de conservación de la energía. Dos planos inclinados 03


Desde el punto A se lanza una pelota con velocidad v0. Siendo el coeficiente de rozamiento µ determina:

a)  La velocidad con que llegará a B.

b)  ¿Cuál será la velocidad mínima con la que deberá ser lanzada la pelota para que llegue a B? En este último caso, ¿cuál sería la velocidad de llegada a B?

 

 

Solución:

a)  Subida:

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida la pelota está sometida a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = µ N (h/sen α) cos 180º

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

Wr = –µ m g cos α (h/sen α)

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v0         hin = 0

Estado final:

vfin = v                   hfin = h

ΔEc = (1/2) m v2 – (1/2) m v02

ΔEp = m g h – 0 = m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g cos α (h/sen α) = (1/2) m v2 – (1/2) m v02 + m g h

–µ g cos α (h/sen α) = (1/2) v2 – (1/2) v02 + g h

Bajada:

La pelota baja por la otra rampa y llega al final con velocidad v’

Aplicando el principio de conservación:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada la pelota está sometida a su peso, al rozamiento y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Trabajo realizado por el rozamiento:

Wr = µ N (h/sen b) cos 180º

Los ángulos indicados son iguales por tener lados perpendiculares.

Como no hay aceleración en la dirección perpendicular al plano:

Wr = –µ m g cos b (h/sen b)

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v          hin = h

Estado final:

vfin = v’         hfin = 0

ΔEc = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2

ΔEp = 0 – m g h = –m g h

Realizando las debidas sustituciones en la expresión del principio de conservación:

–µ m g cos b (h/sen b) = (1/2) m v’2 – (1/2) m v2 – m g h

–µ g cos b (h/sen b) = (1/2) v’2 – (1/2) v2 – g h

Combinando los resultados obtenidos en la subida y la bajada se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones de incógnitas v y v’.

–µ g h ctg α – µ g h ctg b = (1/2) v’2 – (1/2) v02

–2 µ g h ctg α – 2 µ g h ctg b = v’2 – v02

–2 µ g h (ctg α + ctg b) + v02 = v’2 

También se podía haber realizado teniendo en cuenta que la energía cinética que posee la pelota en el punto A, ha de ser igual a la energía cinética que tiene en el punto B más el trabajo de rozamiento en cada uno de los planos, es decir:

Ec (A) = Ec (B) + Wr,1 + Wr,2

(1/2) m v02 = (1/2) m v’2 + µ m g cos α (h/sen α) + µ m g cos b (h/sen b)

v02 = v’2 + 2 µ g h ctg α + 2 µ g h ctg b

v’2 = v02 – 2 µ g h ctg α – 2 µ g h ctg b

v’2 = v02 – 2 µ g h (ctg α + ctg b)

b)  A la vista del resultado obtenido en el apartado anterior, cabría pensar que bastaría con que v’ = 0 para que la pelota hubiera llegado de A hasta B, o sea:

pero…¡no es así!

Para que la pelota llegue a B tendrá que llegar primero a la cima y eso requiere una velocidad mínima de lanzamiento que se puede obtener a partir de los resultados de la primera parte del apartado a), haciendo v = 0.

–µ m g cos α (h/sen α) = 0 – (1/2) m v02 + m g h

–µ g h ctg α = –(1/2) v02 + g h

–µ g h ctg α = –(1/2) v02 + g h

(1/2) v02 = µ g h ctg α + g h

v02 = 2(µ g h ctg α + g h)

Con esta velocidad inicial la velocidad de llegada sería:

 

 

 

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