Teorema de conservación de la energía. Dos planos inclinados 02

 

Se deja caer una bolita por una rampa de longitud L y ángulo α. A continuación de la rampa hay otra de ángulo β. Determina cuánto subirá la bolita por esta rampa.

 

 

Solución:

Aplicando el  principio de conservación al plano inclinado en la bajada:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la bajada la bolita está sometida a su peso y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Por tanto:

W = 0

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = 0          hin = L sen α

Ec (inicial) = 0                  Ep (inicial) = m g L sen α

Estado final:

vfin = v                   hfin = 0

Ec (final) = (1/2) m v2                 Ep (final) = 0

ΔEc = Ec (final) – Ec (inicial) = (1/2) m v2 – 0 = (1/2) m v2

ΔEp = Ep (final) – Ep (inicial) = 0 – m g h = – m g L sen α

Haciendo las debidas sustituciones en la expresión en el principio de conservación:

0 = (1/2) m v2 – m g L sen α

Aplicando el  principio de conservación al plano inclinado en la subida:

ΣW = ΔEc + ΔEp

Cálculo del trabajo:

Durante  la subida la bolita está sometida a su peso y a la normal de la superficie.

El trabajo realizado por el peso no se cuenta ya que está incluido en la variación de la energía potencial.

El trabajo realizado por la normal es igual a cero ya que la normal es perpendicular al desplazamiento.

Por tanto:

W = 0

Cambios de energía.

Estado inicial:

vin = v                 hin = 0

Ec (inicial) = (1/2) m v2

Ep = 0

Estado final:

vfin = 0         hfin = L’ sen b

Ec (final) = 0

Ep = m g L’ sen b

ΔEc = Ec (final) – Ec (inicial) = 0 – (1/2) m v2 =–(1/2) m v2

ΔEp = Ep (final) – Ep (inicial) = m g L’ sen b – 0 = m g L’ sen b 

         Haciendo las oportunas sustituciones en la expresión en el principio de conservación:

0 = –(1/2) m v2 + m g L’ sen

         Ahora se ha de resolver el sistema formado por las ecuaciones obtenidas en la subida y en la bajada.


L sen α = L’ sen b

Se puede observar que al final la bolita queda a la misma altura que al principio.

L’ = L sen α/sen b

Otra posible forma de resolver este problema es mediante el siguiente razonamiento:

La energía potencial inicial que posee la bolita, a consecuencia de su posición, ha de ser igual a la que posee al final, por tanto:

Epin = Epfin

         Ya hemos visto que la energía potencial inicial vale:

Epin = m g L sen α

 y la final es:

Epfin = m g L’ sen

 luego:

m g L sen α = m g L’ sen b

L sen α = L’ sen b

L’ = L sen α/sen b

 

 

 

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