Oscilador armónico simple 13
Un bloque de 2 kg cuelga de un muelle de constante 0,2 kp/cm. Se empuja el bloque 6 cm por encima de la posición de equilibrio y se suelta.
a) Aplica las ecuaciones de la Dinámica para calcular el período de oscilación del bloque.
b) Escribe la ecuación del movimiento y úsala para determinar cuándo pasará el bloque por la posición de equilibrio.
Solución:
Datos: m = 2 kg; k = (0,2 kp/cm)·(9,8 N/kp) = 1,96 N/cm; d1 = 6 cm
a) Período del movimiento:
T = 2π/ω
Fuerzas que actúan sobre el bloque en la posición de equilibrio:
En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, por tanto:
Fe = m g → k d = m g → d = m g/k
d = 2 kg·(9,8 m/s2)/(1,96 N/cm) = 10 cm
Llevamos el bloque a una distancia d1 por encima de la posición de equilibrio y soltamos:
En la posición de equilibrio el muelle está estirado una distancia d = 10 cm, por tanto si se empuja el bloque una distancia d1 = 6 cm por encima de la posición de equilibrio, el muelle todavía estará estirado una distancia de 4 cm, pero no podrá vencer al peso del bloque, por tanto:
m g – Fe = m a → m g – k (d – d1) = m a
m g – k d + k d1 = m a
Ahora se puede tener en cuenta que en la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, luego es como si no existiera ni el peso ni la fuerza elástica inicial, por tanto:
m g – k d = 0 → k d1 = m a
a = k d1/m
Pero de Cinemática se tiene que: a = ω2 d1 (d1 es la amplitud de este movimiento), luego:
ω2 d1 = k d1/m → ω2 = k/m
b) Ecuación del movimiento:
y = A sen (ω t + φ0)
Aplicación de la ecuación cuando pasa por el origen (y = 0):
0 = A sen (ω t + φ0) → sen (ω t + φ0) = 0
ω t + φ0 = 0 + k π, k ∈ Z (No confundir con la constante elástica del muelle)
ω t = k π – φ0 → t = (k π/ω) – (φ0/ω)
Ahora bien, se tiene que T = 2π/ω y, además:
Si t = 0 entonces y = A, luego:
A = A sen φ0 → sen φ0 = A/A = 1→ φ0 = (π/2) rad
Como t ≥ 0, entonces:
2k – 1 ≥ 0 → 2k ≥ 1 → k ≥ 1/2 → k ≥ 1
k = 1 → t1 = 0,16 s
k = 2 → t2 = 0,48 s
k = 3 → t3 = 0,80 s
k = 4 → t4 = 1,12 s
t = {0,16; 0,48; 0,80; 1,12,…} s