El Sapo Sabio

 

Un bloque de 2 kg cuelga de un muelle de constante 0,2 kp/cm. Se empuja el bloque 6 cm por encima de la posición de equilibrio y se suelta.

a)  Aplica las ecuaciones de la Dinámica para calcular el período de oscilación del bloque.

b)  Escribe la ecuación del movimiento y úsala para determinar cuándo pasará el bloque por la posición de equilibrio.

 

 

Solución:

Datos: m = 2 kg; k = (0,2 kp/cm)·(9,8 N/kp) = 1,96 N/cm; d₁ = 6 cm

a)  Período del movimiento:

T = 2π/ω

Fuerzas que actúan sobre el bloque en la posición de equilibrio:

En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, por tanto:

F_e = m g → k d = m g → d = m g/k

d = 2 kg·(9,8 m/s²)/(1,96 N/cm) = 10 cm

Llevamos el bloque a una distancia d₁ por encima de la posición de equilibrio y soltamos:

En la posición de equilibrio el muelle está estirado una distancia d = 10 cm, por tanto si se empuja el bloque una distancia d₁ = 6 cm por encima de la posición de equilibrio, el muelle todavía estará estirado una distancia de 4 cm, pero no podrá vencer al peso del bloque, por tanto:

m g – Fe = m a → m g – k (d – d₁) = m a

 m g – k d + k d₁ = m a

Ahora se puede tener en cuenta que en la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, luego es como si no existiera ni el peso ni la fuerza elástica inicial, por tanto:

m g – k d = 0 → k d₁ = m a

a = k d₁/m

Pero de Cinemática se tiene que: a = ω² d₁ (d₁ es la amplitud de este movimiento), luego:

ω² d₁ = k d₁/m → ω² = k/m

b)  Ecuación del movimiento:

y = A sen (ω t + φ₀)

Aplicación de la ecuación cuando pasa por el origen (y = 0):

0 = A sen (ω t + φ₀) → sen (ω t + φ₀) = 0

ω t + φ₀ = 0 + k π, k ∈ Z  (No confundir con la constante elástica del muelle)

ω t = k π – φ₀ → t = (k π/ω) – (φ₀/ω)

Ahora bien, se tiene que T = 2π/ω y, además:

Si t = 0 entonces y = A, luego:

A = A sen φ₀ → sen φ₀ = A/A = 1→ φ₀ = (π/2) rad

Como t ≥ 0, entonces:

2k – 1 ≥ 0 → 2k ≥ 1 → k ≥ 1/2 → k ≥ 1 

k = 1 → t₁ = 0,16 s

k = 2 → t₂ = 0,48 s

k = 3 → t₃ = 0,80 s

k = 4 → t₄ = 1,12 s

t = {0,16; 0,48; 0,80; 1,12,…} s