Oscilador armónico simple 11

 

La escala de un dinamómetro abarca de 0 a 16 kp y tiene una longitud de 15 cm. Se observa que un cuerpo suspendido del dinamómetro oscila con una frecuencia de 1,5 ciclos. ¿Cuál es su masa?

 

 

Solución:

Datos: L = 15 cm → Fe = 16 kp; f = 1,5 ciclos o s–1

Al suspender el cuerpo del muelle, éste sufre un alargamiento d. Después se estira del bloque hasta una distancia y de la posición de equilibrio y se suelta.

La fuerza elástica es mayor que el peso (el muelle está más estirado que en la posición de equilibrio). La fuerza útil va hacia arriba y por tanto la aceleración tiene el mismo sentido, luego:

Fe – m g = m a → k (d + y) – m g = m a

Para poder hallar la distancia d, consideremos el bloque en la posición de equilibrio y veamos las fuerzas que intervienen:

En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, luego:

Fe = m g →  k d = m g → d = m g/k

k [(m g/k) + y] – m g = m a

m g + k y – m g = m a

a = k y/m

El sentido de la aceleración es contrario a la elongación (separación de la posición de equilibrio) y su módulo es proporcional a ésta. Estas dos características son típicas del movimiento armónico

En Cinemática el módulo de la aceleración de un movimiento armónico vale:

a = ω2 y (se ha suprimido el signo negativo porque se trata de un módulo).

Evidentemente el módulo de la aceleración calculada en Dinámica, ha de ser igual al módulo de la aceleración calculada en Cinemática, luego:

(k/m) y = ω2 y → k/m = ω2 → m = k/ω2 

Fase angular:

ω = 2π/T = 2π f

Sustituyendo en la expresión de la masa, tenemos que:

m = k/(2π f)2 = k/4π2 f2

Ahora falta saber cuánto vale la constante del muelle del dinamómetro, para lo cual se ha de tener en cuenta que éste se alarga 15 cm cuando soporta una fuerza de 16 kp, por tanto su constante elástica vale:

Fe = k L → k = Fe/L

k = 16 kp·(9,8 n/kp)/0,15 m = 1045 N/m

Masa del cuerpo:

m = (1045 N/m)/4π2·(1,5 s–1)2 = 11,8 kg

 

 

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