Oscilador armónico simple 08

 

A un resorte de 40 cm de longitud, que cuelga del techo, se le engancha una masa de 50 g en su extremo libre y al alcanzarse el equilibrio, la longitud del resorte es de 45 cm. Se empuja la masa 4 cm por encima de la posición de equilibrio y se suelta, escribe la ecuación del m.a.s resultante.

 

 

Solución:

Datos: l0 = 40 cm; m = 50 g; l = 45 cm; A = 4 cm

Ecuación del movimiento:

y = A sen (ω t + φ0)

Cálculo de la fase inicial:

Cuando t = 0, y = A, luego:

A = A sen φ0 sen φ0 = A/A = 1→ φ0 = (π/2) rad 

No se consideran las repeticiones porque en la situación inicial k = 0 (No confundir con la constante elástica del muelle)

Cálculo de la fase angular (ω)

Fuerzas que actúan en la posición de equilibrio:

En la posición de equilibrio el bloque está sometido al peso que tira hacia abajo y a la fuerza elástica que tira hacia arriba. Ambas fuerzas se compensan, por tanto:

Fe = m g → k d = m g → k = m g/d

Llevamos el bloque a una distancia d1 por encima de la posición de equilibrio y soltamos:

En la posición de equilibrio el muelle está estirado una distancia d = 5 cm (d = l – l0 = 45 cm – 40 cm), por tanto si se empuja el bloque una distancia d1 = 4 cm (Amplitud) por encima de la posición de equilibrio, el muelle todavía estará estirado una distancia de 1 cm, pero no podrá vencer al peso del bloque, por tanto:

m g – Fe = m a → m g – k (d – d1) = m a

Sustituyendo el valor de k obtenido en la situación de equilibrio:

m g – (m g/d )·(d – d1) = m a

m g – m g + (m g d1)/d = m a

(m g d1)/d = m a

a = (g d1)/d

El sentido de la aceleración es contrario a la elongación (separación de la posición de equilibrio) y su módulo es proporcional a ésta. Estas dos características son típicas del movimiento armónico.

En Cinemática el módulo de la aceleración de un movimiento armónico vale:

a = ω2 d1 (Se ha suprimido el signo menos porque se trata de un módulo)

Evidentemente el módulo de la aceleración calculada en Dinámica tiene que ser igual al módulo de la aceleración calculada en Cinemática:

(g d1/d) y = ω2 d1

ω2 = g/d

Ecuación del movimiento armónico resultante:

y = 4 sen [14 t + (π/2)] (y: cm, t: s)

 

 

 

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