El Sapo Sabio

 

Un bloque de masa 10 kg se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal, siendo μ = 0,1. Una cuerda atada al bloque pasa alrededor de una polea de diámetro 15 cm y del otro extremo de la cuerda cuelga otro bloque de masa 10 kg. Se abandona el sistema desde el reposo y se observa que el bloque recorre 5 m en 2 segundos.

a)  ¿Cuál es el momento de inercia de la polea?

b)  ¿Cuál es la tensión en cada parte de la cuerda?

 

 

Solución:

Datos: m₁ = 10 kg; μ = 0,1; d = 15 cm; m₂ = 10 kg; y = 5 m; t = 2 s

a)  Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T₁ = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T₂ = P₂ = m₂ g

Momento de las fuerzas (torque) sobre la polea:

M = M_N + M_Mg + M_m2,g

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

M_N = 0, M_Mg = 0

M_m2,g = R m₂ g sen 90º = R m₂ g (Sentido de las agujas de reloj)

M = 0 + 0 + R m₂ g = R m₂ g (Sentido de las agujas de reloj)

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento:

Traslación de los bloques:

N₁ = m₁ g

F_r = μ N₁ = μ m₁ g

T₁ – F_r = m₁ a → T₁ – μ m₁ g = m₁ a

m₂ g – T₂ = m₂ a

Rotación de la polea:

M = M_N + M_Mg + M_T1 + M_T2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

M_N = 0, M_Mg = 0

M_T1 = R T₁ sen 90º = R T₁ (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

 M_T2 = R T₂ sen 90º = R T₂ (Sentido de las agujas del reloj)

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto: M_T2 > M_T1.

M = 0 + 0 – R T₁ + R T₂ = R T₂ – R T₁ (Sentido de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R T₂ – R T₁ = I α

Relación entre traslación y rotación:

a = α R → α = a/R

Luego:

R T₂ – R T₁ = I (a/R)

I = (R² T₂ – R² T₁)/a = R²·(T₂ – T₁)/a

T₁ = μ m₁ g + m₁ a

T₂ = m₂ g – m₂ a

I = R²·(m₂ g – m₂ a – μ m₁ g – m₁ a)/a

I = R²·[m₂·(g – a) – m₁·(μ g + a)]/a

Para hallar la aceleración (a) acudiremos a Cinemática:

Ecuaciones del movimiento:

v = v₀ + a t            y = v₀ t + (1/2) a t²

Como v₀ = 0:

y = (1/2) a t² → a = 2y/t²

I = R²·{m₂·[g – (2y/t²)] – m₁·[μ g – (2y/t²)]}/(2y/t²)

Para saber si la expresión hallada es correcta recurriremos a la ecuación de dimensiones, teniendo en cuenta que: [I] = kg m²

[I] = m² s² kg (m/s²)/m = kg m²

Luego sí es correcta.

Sustituyendo en la expresión obtenida los debidos parámetros:

b)   

T₁ = m₁·(μ g + a)

Según el apartado anterior: 

a = 2y/t² = 2·5 m/(2 s)² = 2,5 m/s²

 T₁ = 10 kg·[0,1·(9,8 m/s²) + (2,5 m/s²)] = 34,8 N

T₂ = m₂ (g – a)

T₂ = 10 kg·[(9,8 m/s²) – (2,5 m/s²)] = 73 N