Rodadura del sólido rígido. Plano horizontal con polea 02
Un bloque de masa 10 kg se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal, siendo μ = 0,1. Una cuerda atada al bloque pasa alrededor de una polea de diámetro 15 cm y del otro extremo de la cuerda cuelga otro bloque de masa 10 kg. Se abandona el sistema desde el reposo y se observa que el bloque recorre 5 m en 2 segundos.
a) ¿Cuál es el momento de inercia de la polea?
b) ¿Cuál es la tensión en cada parte de la cuerda?
Solución:
Datos: m1 = 10 kg; μ = 0,1; d = 15 cm; m2 = 10 kg; y = 5 m; t = 2 s
a) Sentido de giro.
Sistema en reposo:
T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)
T2 = P2 = m2 g
Momento de las fuerzas (torque) sobre la polea:
M = MN + MMg + Mm2,g
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
MN = 0, MMg = 0
Mm2,g = R m2 g sen 90º = R m2 g (Sentido de las agujas de reloj)
M = 0 + 0 + R m2 g = R m2 g (Sentido de las agujas de reloj)
Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj.
Sistema en movimiento:
Traslación de los bloques:
N1 = m1 g
Fr = μ N1 = μ m1 g
T1 – Fr = m1 a → T1 – μ m1 g = m1 a
m2 g – T2 = m2 a
Rotación de la polea:
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
MN = 0, MMg = 0
MT1 = R T1 sen 90º = R T1 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)
MT2 = R T2 sen 90º = R T2 (Sentido de las agujas del reloj)
La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto: MT2 > MT1.
M = 0 + 0 – R T1 + R T2 = R T2 – R T1 (Sentido de las agujas del reloj)
Aplicando el principio de la dinámica de rotación:
R T2 – R T1 = I α
Relación entre traslación y rotación:
a = α R → α = a/R
Luego:
R T2 – R T1 = I (a/R)
I = (R2 T2 – R2 T1)/a = R2·(T2 – T1)/a
T1 = μ m1 g + m1 a
T2 = m2 g – m2 a
I = R2·(m2 g – m2 a – μ m1 g – m1 a)/a
I = R2·[m2·(g – a) – m1·(μ g + a)]/a
Para hallar la aceleración (a) acudiremos a Cinemática:
Ecuaciones del movimiento:
v = v0 + a t y = v0 t + (1/2) a t2
Como v0 = 0:
y = (1/2) a t2 → a = 2y/t2
I = R2·{m2·[g – (2y/t2)] – m1·[μ g – (2y/t2)]}/(2y/t2)
Para saber si la expresión hallada es correcta recurriremos a la ecuación de dimensiones, teniendo en cuenta que: [I] = kg m2
[I] = m2 s2 kg (m/s2)/m = kg m2
Luego sí es correcta.
Sustituyendo en la expresión obtenida los debidos parámetros:
b)
T1 = m1·(μ g + a)
Según el apartado anterior:
a = 2y/t2 = 2·5 m/(2 s)2 = 2,5 m/s2
T1 = 10 kg·[0,1·(9,8 m/s2) + (2,5 m/s2)] = 34,8 N
T2 = m2 (g – a)
T2 = 10 kg·[(9,8 m/s2) – (2,5 m/s2)] = 73 N