Rodadura del sólido rígido. Plano horizontal con polea 02

 

Un bloque de masa 10 kg se encuentra en reposo sobre una mesa horizontal, siendo μ = 0,1. Una cuerda atada al bloque pasa alrededor de una polea de diámetro 15 cm y del otro extremo de la cuerda cuelga otro bloque de masa 10 kg. Se abandona el sistema desde el reposo y se observa que el bloque recorre 5 m en 2 segundos.

a)  ¿Cuál es el momento de inercia de la polea?

b)  ¿Cuál es la tensión en cada parte de la cuerda?

 

 

Solución:

Datos: m1 = 10 kg; μ = 0,1; d = 15 cm; m2 = 10 kg; y = 5 m; t = 2 s

a)  Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T1 = 0 (El bloque 1 no está sometido a ninguna fuerza útil)

T2 = P2 = m2 g

Momento de las fuerzas (torque) sobre la polea:

M = MN + MMg + Mm2,g

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MMg = 0

Mm2,g = R m2 g sen 90º = R m2 g (Sentido de las agujas de reloj)

M = 0 + 0 + R m2 g = R m2 g (Sentido de las agujas de reloj)

Este momento hará que la polea comience a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento:

Traslación de los bloques:

N1 = m1 g

Fr = μ N1 = μ m1 g

T1 – Fr = m1 a T1μ m1 g = m1 a

m2 g – T2 = m2 a

Rotación de la polea:

M = MN + MMg + MT1 + MT2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MMg = 0

MT1 = R T1 sen 90º = R T1 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

 MT2 = R T2 sen 90º = R T2 (Sentido de las agujas del reloj)

La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj por tanto: MT2 > MT1.

M = 0 + 0 – R T1 + R T2 = R T2 – R T1 (Sentido de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R T2 – R T1 = I α

Relación entre traslación y rotación:

a = α R α = a/R

Luego:

R T2 – R T1 = I (a/R)

I = (R2 T2 – R2 T1)/a = R2·(T2 – T1)/a

T1 = μ m1 g + m1 a

T2 = m2 g – m2 a

I = R2·(m2 g – m2 a – μ m1 g – m1 a)/a

I = R2·[m2·(g – a) – m1·(μ g + a)]/a

Para hallar la aceleración (a) acudiremos a Cinemática:

Ecuaciones del movimiento:

v = v0 + a t            y = v0 t + (1/2) a t2

Como v0 = 0:

y = (1/2) a t2 a = 2y/t2

I = R2·{m2·[g – (2y/t2)] – m1·[μ g – (2y/t2)]}/(2y/t2)

Para saber si la expresión hallada es correcta recurriremos a la ecuación de dimensiones, teniendo en cuenta que: [I] = kg m2

[I] = m2 s2 kg (m/s2)/m = kg m2

Luego sí es correcta.

Sustituyendo en la expresión obtenida los debidos parámetros:

b)   

T1 = m1·(μ g + a)

Según el apartado anterior: 

a = 2y/t2 = 2·5 m/(2 s)2 = 2,5 m/s2

 T1 = 10 kg·[0,1·(9,8 m/s2) + (2,5 m/s2)] = 34,8 N

T2 = m2 (g – a)

T2 = 10 kg·[(9,8 m/s2) – (2,5 m/s2)] = 73 N

 

 

 

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