Rodadura del sólido rígido. Poleas 11

 

Calcula la aceleración angular que adquiere la doble polea al dejar en libertad el sistema mostrado en la figura.

Los dos bloques tienen la misma masa: m. La doble polea tiene radios R y R/2 y una masa 5m que está concentrada en la periferia.

 

 

Solución:

Datos: m1 = m2 = m; R1 = R/2; R2 = R; M = 5m

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque sobre la polea:

M = MN + MMg + Mm1g + Mm2g

El peso de la polea Mg y la normal N están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M1 = R1 m1 g sen 90º = R1 m1 g (sentido agujas del reloj)

M2 = R2 m2 g sen 90º = R2 m2 g (sentido agujas del reloj)

M = 0 + 0 – R1 m1 g – R2 m2 g

M = –R1 m1 g – R2 m2 g (sentido agujas del reloj)

Este momento hará que la doble polea comience a girar en el mismo sentido al de las agujas del reloj, cosa que era evidente.

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MMg + MT1 + MT2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

MT1 = R1 T1 g sen 90º = R1 T1 (sentido de las agujas del reloj)

MT2 = R2 T2 g sen 90º = R2 T2 (sentido de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R1 T1 + R2 T2

M = R1 T1 + R2 T2 (sentido agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R1 T1 + R2 T2 = I α

Traslación de los bloques:

Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.

–T1 + m1 g = m1 a1 T1 = m1 g – m1 a1

–T2 + m2 g = m2 a2 T2 = m2 g – m2 a2

Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre estas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

Ahora tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

R1 T1 + R2 T2 = I α

T1 = m1 g – m1 a1

T2 = m2 g – m2 a2

a1 = α R1

a2 = α R2

Sustituyendo en la primera expresión:

R1 (m1 g – m1 a1) + R2 (m2 g – m2 a2) = I α

R1 (m1 g – m1 α R1) + R2 (m2 g – m2 α R2) = I α

R1 m1 g – m1 α R12 + R2 m2 g – m2 α R22 = I α

I α + m1 α R12 + m2 α R22 = R1 m1 g + R2 m2 g

(I + m1 R12 + m2 R22) α = R1 m1 g + R2 m2 g

α = (R1 m1 g + R2 m2 g)/(I + m1 R12 + m2 R22)

Según los datos del problema tenemos que:

 

 

 

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