Rodadura del sólido rígido. Poleas 10

 

Calcula la aceleración angular de la doble polea, sabiendo que la zapata A ejerce una fuerza de frenado constante igual a 10 N.

Datos de los bloques: m1 = 4 kg y m2 = 1 kg

Datos de la doble polea: R = 50 cm, R’ = 75 cm, I = 0,8 kg·m2

 

 

Solución:

Datos:

De los bloques: m1 = 4 kg; m2 = 1 kg

De la polea: R = 50 cm, R’ = 75 cm, I = 0,8 kg·m2; F = 10 N

Sentido de giro.

La fuerza de rozamiento no decide el sentido del movimiento, así que basta con considerar el peso de los bloques cuyas cuerdas están a la misma distancia del centro. Bajará el bloque que pese más, es decir, el bloque 1. Luego el sentido del giro será el de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MM g + MT1 + MT2 + MF

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MM g = 0

MF = R’ F sen 90º = R’ F (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT2 = R T2 sen 90º = R T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT1 = R T1 sen 90º = R T1 (Sentido el de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R T1 – R T2 – R’ F

M = R T1 – R T2 – R’ F (Sentido el de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R T1 – R T2 – R’ F = I α

Traslación de los bloques:

T2 – m2 g = m2 a

–T1 + m1 g = m1 a

Ahora se debe poner la aceleración en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las aceleraciones angular y lineales. Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

a = α R

Por tanto tenemos el siguiente sistema:

R T1 – R T2 – R’ F = I α

T2 = m2 g + m2 α R

T1 = m1 g – m1 α R

Sustituyendo en la primera ecuación tenemos que:

R (m1 g – m1 α R) – R (m2 g + m2 α R) – R’ F = I α

R m1 g – m1 α R2 – R m2 g – m2 α R2 – R’ F = I α

R m1 g – R m2 g – R’ F = I α + m1 α R2 + m2 α R2

I α + m1 α R2 + m2 α R2 = R m1 g – R m2 g – R’ F

α [I + R2 (m1 + m2)] = R g (m1 – m2) – R’ F

α =  [R g (m1 – m2) – R’ F]/[I + R2 (m1 + m2)]

 

 

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