El Sapo Sabio

 

Determina la aceleración angular de la polea cuando se deje en libertad el sistema.

Los radios de la doble polea son: r, 3·r/2 y su masa, m, está concentrada en la periferia.

 

 

Solución:

Predicción del sentido del movimiento:

Momento de F:

M_F =  (3·r/2)·m g = (3/2)·r m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Momento de T:

M_T = r·2 m g = 2 r m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

Pero como M_T es mayor que M_F, la polea empezará a girar en sentido antihorario.

Momentos de las fuerzas (torque):

T·r – (3/2) r m g = I α

Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:

I = m·[(3/2)·r]² = (9/4) m r²

Por lo tanto:

T·r – (3/2) r m g = (9/4) m r² α

T – (3/2) m g = (9/4) m r α

Fuerzas que actúan sobre el bloque:

2 m g – T = m a → T = 2 m g – 2 m a

Relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular:

a = α r

Luego:

T = 2 m g – 2 m α r

2 m g – 2 m α r – (3/2)·m g = (9/4) m r α

2 g – 2 α r – (3/2) g = (9/4) r α

(9/4) r α + 2 α r = (1/2) g

(17/4) r α = (1/2) g

α  = 4 g/34 r = 2 g/17 r