Rodadura del sólido rígido. Poleas 08
Determina la aceleración angular de la polea cuando se deje en libertad el sistema.
Los radios de la doble polea son: r, 3·r/2 y su masa, m, está concentrada en la periferia.
Solución:
Predicción del sentido del movimiento:
Momento de F:
MF = (3·r/2)·m g = (3/2)·r m g
Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.
Momento de T:
MT = r·2 m g = 2 r m g
Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
Pero como MT es mayor que MF, la polea empezará a girar en sentido antihorario.
Momentos de las fuerzas (torque):
T·r – (3/2) r m g = I α
Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:
I = m·[(3/2)·r]2 = (9/4) m r2
Por lo tanto:
T·r – (3/2) r m g = (9/4) m r2 α
T – (3/2) m g = (9/4) m r α
Fuerzas que actúan sobre el bloque:
2 m g – T = m a → T = 2 m g – 2 m a
Relación entre la aceleración tangencial y la aceleración angular:
a = α r
Luego:
T = 2 m g – 2 m α r
2 m g – 2 m α r – (3/2)·m g = (9/4) m r α
2 g – 2 α r – (3/2) g = (9/4) r α
(9/4) r α + 2 α r = (1/2) g
(17/4) r α = (1/2) g
α = 4 g/34 r = 2 g/17 r