Rodadura del sólido rígido. Poleas 07
El sistema de la figura comienza a moverse partiendo del reposo. Calcula el tiempo que tardará la polea en dar una vuelta.
Las masa de los bloques son: m1 = m, m2 = 4m, la masa de la polea es; 15m/4 y se puede suponer concentrada en la periferia. La fuerza F es igual al peso del bloque 1. El radio de la polea vale R = 50 cm.
Solución:
Datos: ω0 = 0; φ = 1 rev; m1 = m; m2 = 4m; M = 15m/4; F = m g; R = 50 cm
Según Cinemática:
φ = ω0 + (1/2) α t2
φ = 0 + (1/2) α t2 → t2 = 2φ/α
Como conocemos el valor de φ (2π rad), para hallar el valor de t necesitamos averiguar el valor de α.
Predicción del sentido del movimiento:
Sistema en reposo:
T1 = m1 g = m g T2 = m2 g = 4 m g
Momento del torque sobre la polea
M = MF + MT,1 + MT,2 + MN + MMg
Momento de F:
MF = (2 R)·m g·sen 90º = 2 R m g
Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.
Momentos de T1 y de T2:
MT,1 = R·m1·sen 90º = R m g
Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
MT,2 = R·m2·sen 90º = R·(4 m)·g = 4 R m g
Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.
M = 2 R m g + R m g – 4 R m g + 0 + 0 = –R m g
Este momento hará que la polea empiece a girar en el sentido de las agujas del reloj.
Sistema en movimiento:
Rotación de la polea:
M = MF + MT,1 + MT,2 + MN + MMg
El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
MN = 0 MMg = 0
Momento de F:
MF = 2 R F (Sentido opuesto al de la aceleración)
Momento de T1:
MT,1 = R T1·sen 90º = R T1 (Sentido opuesto al de la aceleración)
Momento de T2:
MT,2 = R T2·sen 90º = R T2 (Mismo sentido que el de la aceleración)
M = –2 R F – R T1 + R T2 + 0 + 0
Aplicando el principio de la dinámica de rotación:
–2 R F – R1 T1 + R T2 = I α
Traslación de los bloques:
Los bloques están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones son iguales.
T1 – m g = m a
–T2 + 4 m g = 4 m a
Ahora se debe poner la aceleración en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las aceleraciones angular y lineales.
a = α R
Por tanto tenemos el siguiente sistema:
–2 R F – R T1 + R T2 = I α
T1 – m g = m a
–T2 + 4 m g = 4 m a
a = α R
Ahora sustituiremos el valor de a en las expresiones de las tensiones y después despejaremos las tensiones.
T1 – m g = m α R → T1 = m g + m α R
–T2 + 4 m g = 4 m α R → T2 = 4 m g – 4 m α R
Sustituyendo en la primera de las ecuaciones del sistema:
–2 R m g – R (m g + m α R) + R (4 m g – 4 m α R) = I α
–2 R m g – R m g – m α R2 + 4 R m g – 4 m α R2 = I α
R m g – 5 m α R2 = I α
I α + 5 m α R2 = R m g
(I + 5 m R2) α = R m g
α = R m g/(I + 5 m R2)
Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:
I = (15m/4)·(2R)2 = 15 m R2
Luego:
α = R m g/(15 m R2 + 5 m R2)
α = R m g/20 m R2
α = g/20 R