El Sapo Sabio

 

El sistema de la figura comienza a moverse partiendo del reposo. Calcula el tiempo que tardará la polea en dar una vuelta.

Las masa de los bloques son: m₁ = m, m₂ = 4m, la masa de la polea es; 15m/4 y se puede suponer concentrada en la periferia. La fuerza F es igual al peso del bloque 1. El radio de la polea vale R = 50 cm.

 

 

Solución:

Datos: ω₀ = 0; φ = 1 rev; m₁ = m; m₂ = 4m; M = 15m/4; F = m g; R = 50 cm

Según Cinemática:

φ = ω₀ + (1/2) α t²

φ = 0 + (1/2) α t² → t² = 2φ/α

Como conocemos el valor de φ (2π rad), para hallar el valor de t necesitamos averiguar el valor de α.

Predicción del sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T₁ = m₁ g = m g               T₂ = m₂ g = 4 m g

Momento del torque sobre la polea

M = M_F + M_T,1 + M_T,2 + M_N + M_Mg

Momento de F:

M_F = (2 R)·m g·sen 90º = 2 R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.

Momentos de T₁ y de T₂:

M_T,1 = R·m₁·sen 90º = R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

M_T,2 = R·m₂·sen 90º = R·(4 m)·g = 4 R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = 2 R m g + R m g – 4 R m g + 0 + 0 = –R m g

Este momento hará que la polea empiece a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento:

Rotación de la polea:

M = M_F + M_T,1 + M_T,2 + M_N + M_Mg

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

M_N = 0                   M_Mg = 0

Momento de F:

M_F = 2 R F (Sentido opuesto al de la aceleración)

Momento de T₁:

M_T,1 = R T₁·sen 90º = R T₁ (Sentido opuesto al de la aceleración)

Momento de T₂:

M_T,2 = R T₂·sen 90º = R T₂ (Mismo sentido que el de la aceleración)

M = –2 R F – R T₁ + R T₂ + 0 + 0

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

–2 R F – R₁ T₁ + R T₂ = I α

Traslación de los bloques:

Los bloques están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones son iguales.

T₁ – m g = m a

–T₂ + 4 m g = 4 m a

Ahora se debe poner la aceleración en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las aceleraciones angular y lineales.    

a = α R

Por tanto tenemos el siguiente sistema:

–2 R F – R T₁ + R T₂ = I α

T₁ – m g = m a

–T₂ + 4 m g = 4 m a

a = α R

Ahora sustituiremos el valor de a en las expresiones de las tensiones y después despejaremos las tensiones.

T₁ – m g = m α R → T₁ = m g  + m α R

–T₂ + 4 m g = 4 m α R → T₂ = 4 m g – 4 m α R

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones del sistema:

–2 R m g – R (m g + m α R) + R (4 m g – 4 m α R) = I α

–2 R m g – R m g – m α R² + 4 R m g – 4 m α R² = I α

R m g – 5 m α R² = I α

I α + 5 m α R² = R m g

(I + 5 m R²) α = R m g

α = R m g/(I + 5 m R²)

Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:

I = (15m/4)·(2R)² = 15 m R² 

Luego:

α = R m g/(15 m R² + 5 m R²)

α = R m g/20 m R²

α = g/20 R