Rodadura del sólido rígido. Poleas 07

 

El sistema de la figura comienza a moverse partiendo del reposo. Calcula el tiempo que tardará la polea en dar una vuelta.

Las masa de los bloques son: m1 = m, m2 = 4m, la masa de la polea es; 15m/4 y se puede suponer concentrada en la periferia. La fuerza F es igual al peso del bloque 1. El radio de la polea vale R = 50 cm.

 

 

Solución:

Datos: ω0 = 0; φ = 1 rev; m1 = m; m2 = 4m; M = 15m/4; F = m g; R = 50 cm

Según Cinemática:

φ = ω0 + (1/2) α t2

φ = 0 + (1/2) α t2 t2 = 2φ/α

Como conocemos el valor de φ (2π rad), para hallar el valor de t necesitamos averiguar el valor de α.

Predicción del sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g = m g               T2 = m2 g = 4 m g

Momento del torque sobre la polea

M = MF + MT,1 + MT,2 + MN + MMg

Momento de F:

MF = (2 R)·m g·sen 90º = 2 R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.

Momentos de T1 y de T2:

MT,1 = R·m1·sen 90º = R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

MT,2 = R·m2·sen 90º = R·(4 m)·g = 4 R m g

Este momento haría que la polea comenzara a girar en el sentido de las agujas del reloj.

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = 2 R m g + R m g – 4 R m g + 0 + 0 = –R m g

Este momento hará que la polea empiece a girar en el sentido de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento:

Rotación de la polea:

M = MF + MT,1 + MT,2 + MN + MMg

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0                   MMg = 0

Momento de F:

MF = 2 R F (Sentido opuesto al de la aceleración)

Momento de T1:

MT,1 = R T1·sen 90º = R T1 (Sentido opuesto al de la aceleración)

Momento de T2:

MT,2 = R T2·sen 90º = R T2 (Mismo sentido que el de la aceleración)

M = –2 R F – R T1 + R T2 + 0 + 0

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

–2 R F – R1 T1 + R T2 = I α

Traslación de los bloques:


Los bloques están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones son iguales.

T1 – m g = m a

–T2 + 4 m g = 4 m a

Ahora se debe poner la aceleración en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las aceleraciones angular y lineales.    

a = α R

Por tanto tenemos el siguiente sistema:

–2 R F – R T1 + R T2 = I α

T1 – m g = m a

–T2 + 4 m g = 4 m a

a = α R

Ahora sustituiremos el valor de a en las expresiones de las tensiones y después despejaremos las tensiones.

T1 – m g = m α R T1 = m g  + m α R

–T2 + 4 m g = 4 m α R T2 = 4 m g – 4 m α R

Sustituyendo en la primera de las ecuaciones del sistema:

–2 R m g – R (m g + m α R) + R (4 m g – 4 m α R) = I α

–2 R m g – R m g – m α R2 + 4 R m g – 4 m α R2 = I α

R m g – 5 m α R2 = I α

I α + 5 m α R2 = R m g

(I + 5 m R2) α = R m g

α = R m g/(I + 5 m R2)

Al estar la masa de la doble polea concentrada en la periferia, se puede considerar como un anillo delgado, por tanto el momento de inercia es:

I = (15m/4)·(2R)2 = 15 m R2 

Luego:

α = R m g/(15 m R2 + 5 m R2)

α = R m g/20 m R2

α = g/20 R

 

 

 

Deja un comentario

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo