Rodadura del sólido rígido. Poleas 06

 

Un bloque, m = 10 kg, cuelga de una cuerda arrollada a una polea de radio R1 = 5 cm  que está pegada a otra polea de radio R2 = 20 cm compartiendo ambas el mismo eje. En la polea de mayor radio se aplica tangencialmente una fuerza de F = 3 kp para hacer subir el bloque. Siendo el momento de inercia de la doble polea 750 kg·cm2, calcula la aceleración angular de la polea.

 

 

Solución:

Datos: m = 10 kg; R1 = 5 cm; R2 = 20 cm; F = 3 kp; I = 750 kg·cm2

Para que el bloque suba la polea deberá girar en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Sistema en movimiento.

Observa que la normal está inclinada para compensar la fuerza hacia la derecha (F) y la fuerza hacia abajo (mg)

Momento de las fuerzas (torque):

M = MN + MF + MMg + MT

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir: MN = 0 y MMg = 0.

MF = R2 F sen 90º = R2 F (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT = R1 T sen 90º = R1 T (Sentido de las agujas del reloj) 

La aceleración angular tiene el sentido contrario al de las agujas del reloj, por tanto:

MF > MT

M = R2 F – R1 T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R2 F – R1 T = I α

Traslación del bloque:

T – m g = m a T = m g + m a = m (g + a)

I α = R2 F – R1 m (g + a)

Relación entre traslación y rotación:

a = α R1

(Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda)

I α = R2 F – R1 m (g + α R1) = R2 F – R1 m g – m α R12 

I α + m α R12 = R2 F – R1 m g

(I + m R12) α = R2 F – R1 m g

α = (R2 F – R1 m g)/(I + m R12)

 

 

 

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