Rodadura del sólido rígido. Poleas 05

 

Calcula la velocidad angular de la doble polea, la lineal de los bloques y las tensiones de la cuerda. Cuando la polea haya girado un ángulo j, partiendo del reposo, que velocidad angular llevará.

Datos de la doble polea: Radios, R1 y R2. Momento de inercia I.

 

 

Solución:

Sentido de giro.

Sistema en reposo:

T1 = m1 g               T2 = m2 g

Momento del torque sobre la polea:

M = Mm1 g + MN + MM g + Mm2 g

Mm1 g = R1 m1 g sen 90º = R1 m1 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Mm2 g = R2 m2 g sen 90º = R2 m2 g (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos.

M = R1 m1 g + 0 + 0 + R2 m2 g

M = g (R1 m1 + R2 m2) (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Este momento hará que la doble polea comience a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj, cosa que era evidente.

Sistema en movimiento.

Rotación de la polea:

M = MN + MM g + MT1 + MT2

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

MN = 0, MM g = 0

MT1 = R1 T1 sen 90º = R1 T1 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

MT2 = R2 T2 sen 90º = R2 T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

M = 0 + 0 + R1 T1 + R2 T2

M = R1 T1 + R2 T2 (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Aplicando el principio de la dinámica de rotación:

R1 T1 + R2 T2 = I α

Traslación de los bloques:

Los bloques no están directamente unidos, por tanto tienen aceleraciones diferentes.

–T2 + m2 g = m2 a2

–T1 + m1 g = m1 a1

Ahora se debe poner las aceleraciones a1 y a2 en función de la aceleración angular α, para lo cual hay que tener en cuenta la relación entre las magnitudes angulares y lineales.

Relación entre las magnitudes angulares y lineales:


Un móvil que gira un ángulo φ, también recorre una distancia d. La relación entre estas dos magnitudes es:

d = φ R (Definición de radián)

Derivando sucesivamente respecto al tiempo:

dd/dt = (dφ/dt) R → v = ω R

dv/dt = (dω/dt) → a = α R

Es decir: Las magnitudes de traslación del bloque se obtienen multiplicando las magnitudes correspondientes de rotación de la polea por el radio de la circunferencia donde se enrolla la cuerda.

De todo lo anterior se tiene que:

Ahora se puede resolver por Cramer:

De Cinemática tenemos que:

ω = ω0 + α t           φ = ω0 t + (1/2) α t2

como partimos del reposo ω0 = 0, luego:

ω = α t                  φ = (1/2) α t2

despejando el tiempo en la segunda expresión y sustituimos en la primera, tenemos que:

Por lo tanto:

 

 

 

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