El Sapo Sabio

 

Por un plano inclinado se dejan rodar sin deslizar dos esferas de igual masa y radio, pero con distinto momento de inercia. Discutir cuál de ellas llega antes abajo admitiendo que el c. d. m de ambas esferas está en su centro geométrico.

 

 

Solución:

De los dos cuerpos llegará antes aquél cuyo c. d. m baje con mayor aceleración y para hallar dicha aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R → M = I a/R → a = M R/I

La única fuerza útil es m g sen φ, por tanto el cuerpo bajará por la rampa y girará en el sentido de las agujas del reloj.

La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a m g sen φ.

Rotación alrededor del c. d. m:

Rotación alrededor del c.d.m:

M = M_{m g sen φ} + M_{m g cos φ} + M_Fr + M_N

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

M_{m g sen φ} = 0                     M_{m g cos φ} = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

M_Fr = R F_r sen 90º = R F_r

M_N = R N sen 180º = 0

 M = 0 + 0 + R F_r + 0 = R F_r (Sentido de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = R F_r R/ I = R² F_r/I

Traslación del c. d. m:

N = m g cos φ

m g sen φ – F_r = m a → F_r = m g sen φ – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.

a = R² (m g sen φ – m a)/I

a I = R² (m g sen φ – m a)

 a I = R² m g sen φ – R² m a

a I + R² m a = R² m g sen φ

(I + R² m) a = R² m g sen φ

a = R² m g sen φ/(I + R² m)

La aceleración de traslación será mayor para la esfera que tenga menor momento de inercia y será ésta la que llegue antes.

Nota:

Una de las esferas podría ser homogénea de radio R con densidad, por tanto:

d = m/V → m = d V

V = (4/3) π R³ → m = (4/3) π R³ d

La otra esfera podría ser una esfera de radio R y densidad d que contiene una subesfera concéntrica de radio R' y densidad d’, luego:

m = (4/3) π R’³ d’ + (4/3) π (R – R’)³ d

Para que ambas esferas tengan igual masa deberá cumplirse que:

(4/3) π R³ d = (4/3) π R’³ d’ + (4/3) π (R – R’)³ d

R³ d = R’³ d’ + (R – R’)³ d

R³ d – R’³ d’ = (R – R’)³ d