Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 05
Por un plano inclinado se dejan rodar sin deslizar dos esferas de igual masa y radio, pero con distinto momento de inercia. Discutir cuál de ellas llega antes abajo admitiendo que el c. d. m de ambas esferas está en su centro geométrico.
Solución:
De los dos cuerpos llegará antes aquél cuyo c. d. m baje con mayor aceleración y para hallar dicha aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:
α = a/R → M = I a/R → a = M R/I
La única fuerza útil es m g sen φ, por tanto el cuerpo bajará por la rampa y girará en el sentido de las agujas del reloj.
La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a m g sen φ.
Rotación alrededor del c. d. m:
Rotación alrededor del c.d.m:
M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN
Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
Mm g sen φ = 0 Mm g cos φ = 0
Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:
MFr = R Fr sen 90º = R Fr
MN = R N sen 180º = 0
M = 0 + 0 + R Fr + 0 = R Fr (Sentido de las agujas del reloj)
Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.
Sustituyendo en la expresión de la aceleración:
a = R Fr R/ I = R2 Fr/I
Traslación del c. d. m:
N = m g cos φ
m g sen φ – Fr = m a → Fr = m g sen φ – m a
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.
a = R2 (m g sen φ – m a)/I
a I = R2 (m g sen φ – m a)
a I = R2 m g sen φ – R2 m a
a I + R2 m a = R2 m g sen φ
(I + R2 m) a = R2 m g sen φ
a = R2 m g sen φ/(I + R2 m)
La aceleración de traslación será mayor para la esfera que tenga menor momento de inercia y será ésta la que llegue antes.
Nota:
Una de las esferas podría ser homogénea de radio R con densidad, por tanto:
d = m/V → m = d V
V = (4/3) π R3 → m = (4/3) π R3 d
La otra esfera podría ser una esfera de radio R y densidad d que contiene una subesfera concéntrica de radio R' y densidad d’, luego:
m = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d
Para que ambas esferas tengan igual masa deberá cumplirse que:
(4/3) π R3 d = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d
R3 d = R’3 d’ + (R – R’)3 d
R3 d – R’3 d’ = (R – R’)3 d