Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 05

 

Por un plano inclinado se dejan rodar sin deslizar dos esferas de igual masa y radio, pero con distinto momento de inercia. Discutir cuál de ellas llega antes abajo admitiendo que el c. d. m de ambas esferas está en su centro geométrico.

 

 

Solución:

De los dos cuerpos llegará antes aquél cuyo c. d. m baje con mayor aceleración y para hallar dicha aceleración utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I a/R a = M R/I

La única fuerza útil es m g sen φ, por tanto el cuerpo bajará por la rampa y girará en el sentido de las agujas del reloj.

La fuerza de rozamiento es indeterminada y tiene sentido contrario a m g sen φ.

Rotación alrededor del c. d. m:

Rotación alrededor del c.d.m:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0                     Mm g cos φ = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

MN = R N sen 180º = 0

 M = 0 + 0 + R Fr + 0 = R Fr (Sentido de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = R Fr R/ I = R2 Fr/I

Traslación del c. d. m:

N = m g cos φ

m g sen φFr = m a Fr = m g sen φ – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.

a = R2 (m g sen φ – m a)/I

a I = R2 (m g sen φ – m a)

 a I = R2 m g sen φ – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g sen φ

(I + R2 m) a = R2 m g sen φ

a = R2 m g sen φ/(I + R2 m)

La aceleración de traslación será mayor para la esfera que tenga menor momento de inercia y será ésta la que llegue antes.

Nota:

Una de las esferas podría ser homogénea de radio R con densidad, por tanto:


d = m/V m = d V

V = (4/3) π R3 m = (4/3) π R3 d

La otra esfera podría ser una esfera de radio R y densidad d que contiene una subesfera concéntrica de radio R' y densidad d’, luego:


m = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d

Para que ambas esferas tengan igual masa deberá cumplirse que:

(4/3) π R3 d = (4/3) π R’3 d’ + (4/3) π (R – R’)3 d

R3 d = R’3 d’ + (R – R’)3 d

R3 d – R’3 d’ = (R – R’)3 d

 

 

 

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