Rodadura del sólido rígido. Plano inclinado 04

 

Un cilindro macizo que va rodando sin deslizar comienza a subir por un plano inclinado de ángulo φ. Determina su aceleración de frenado.

 

 

Solución:

Debemos hallar una aceleración para lo cual utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración de frenado, o sea, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I a/R a = M R/I

La velocidad lineal del cilindro va hacia arriba. La velocidad angular tiene sentido contrario al de las agujas del reloj (El punto de contacto con el suelo no tiene velocidad porque en él se compensan las velocidades de traslación y rotación)

La aceleración lineal tiene sentido contrario a la velocidad lineal (frena). La aceleración angular tiene el sentido de las agujas del reloj (El punto de contacto con el suelo no tiene aceleración porque en él se compensan las aceleraciones)

Para crear un par que produzca aceleración angular el sentido de las agujas del reloj,  la fuerza de rozamiento deberá apuntar hacia arriba (En el mismo sentido que la traslación)

Rotación alrededor del c.d.m:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0                     Mm g cos φ = 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

MN = R N sen 180º = 0

M = 0 + 0 + R Fr + 0 = R Fr (Sentido de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = R Fr R/ I = R2 Fr/I

Traslación del c.d.m:

N = m g cos φ

m g sen φFr = m a Fr = m g sen φ – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

a = R2 (m g sen φ – m a)/I

a I = R2 (m g sen φ – m a)

a I = R2 m g sen φ – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g sen φ

(I + R2 m) a = R2 m g sen φ

a = R2 m g sen φ/(I + R2 m)

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:

I = (1/2) m R2

Sustituyendo en la expresión de la aceleración tenemos que:

a = R2 m g sen φ/[(1/2) m R2 + R2 m]

a = R2 m g sen φ/(3/2) m R2

a = (2/3) g sen φ

 

 

 

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