Rodadura del sólido rígido. Cilindro 04

 

Una cuerda se enrolla en un cilindro de masa m y su extremo libre se ata al techo. El cilindro se deja caer partiendo del reposo y gira a medida que se desenrolla la cuerda. Calcular la aceleración del c. d. m  y la tensión de la cuerda.

 

 

Solución:

Debemos hallar una aceleración para lo cual utilizaremos la ecuación de la dinámica de rotación: M = I α, pero se trata de la aceleración del c. d. m de un cilindro, es decir, la aceleración de traslación por lo que tendremos en cuenta la relación entre los movimientos de traslación y de rotación: a = α R, por tanto:

α = a/R M = I (a/R) a = M R/I

Rotación alrededor del c. d. m:

Evidentemente el cilindro bajará girando en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Momento de las fuerzas (torque):

M = MT + Mm g

La fuerza m g (peso) está aplicada en el eje, luego su momento es nulo, es decir:

Mm g = 0

Momento de la tensión:

Según la figura:

MT = R T sen 90º = R T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Por tanto:

M = R T + 0 = R T (Sentido contrario al de las agujas del reloj)

Sustituyendo en la expresión de la aceleración:

a = T R2/I

Ahora se debe hallar el valor de la tensión.

Traslación del c. d. m:

m g – T = m a → T = m g – m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c. d. m.

a = (m g – m a) R2/I

a I = (m g – m a) R2

a I = R2  m g – R2 m a

a I + R2 m a = R2 m g

 a (I + R2 m) = R2 m g

a = R2 m g/(I + R2 m)

Para hallar la tensión de la cuerda debemos tener en cuenta que:

a = T R2/I

luego:

T = a I/R2 = [R2 m g/(I + R2 m)] I/R2

T = m g I/(I + R2 m)

Momento de inercia de un cilindro homogéneo respecto a su eje:

I = (1/2) m R2

Sustituyendo en las expresiones anteriores:

a = R2 m g/[(1/2) m R2 + R2 m)]

a = R2 m g/(3/2) m R2

a = (2/3) g

T = m g (1/2) m R2/[(1/2) m R2 + R2 m]

T = (1/2) m2 g R2/(3/2) m R2

T = (1/3) m g

 

 

 

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