Volante de inercia o volante motor 02

 

En una rueda de radio 50 cm, con un eje horizontal que pasa por su centro, se ha enrollado una cuerda de la que cuelga un cuerpo de masa 5 kg. La rueda está formada por un anillo uniforme de 5 kg y varios radios de masa despreciable Calcula:

a)  La tensión de la cuerda

b)  Tiempo que tarda en desenrollarse 1 m de cuerda

 

 

Solución:

Datos: R = 50 cm; m = 5 kg; M = 5 kg

a)  Sistema en equilibrio. Fuerzas que intervienen. 

Evidentemente la polea comenzará a girar en el sentido contrario al de las agujas del reloj. En cuanto la polea comience a girar cambiará la tensión en el extremo de la cuerda y ya no será igual al peso del bloque.

Momento de las fuerzas (torque):

M = MN + MT + Mm g

El peso de la polea y la normal están aplicados en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir: MN = 0, Mm g = 0.

MT = R T sen 90º = R T (Sentido contraria al de las agujas del reloj)

M = R T (Sentido contraria al de las agujas del reloj)

Se puede observar que el sentido del momento coincide con el de la aceleración.

Aplicando la ecuación de la dinámica de rotación:

R T = I α

Traslación del bloque:

m g – T = m a 

Relación entre traslación y rotación:

a = α R

Combinando las expresiones anteriores resulta un sistema con tres incógnitas: T, a, α

R T = I α

m g – T = m a 

a = α R

Despejando α de la anterior expresión:

α = a/R → R T = I a/R → a = R2 T/I

T = m g – m a

 a = R2 m (g – a)/I a I = R2 m g – a R2 m

a I + a R2 m = R2 m g a (I + R2 m) = R2 m g

a = R2 m g/(I + R2 m)

T = m g – [R2 m2 g/(I + R2 m)]

T = [m g (I + R2 m) – R2 m2 g]/(I + R2 m)

T = (m g I + R2 m2 g – R2 m2 g)/(I + R2 m)

T = m g I/(I + R2 m)

Momento de inercia de un disco, polea, rueda respecto a un eje perpendicular por su centro (masa concentrada en la periferia):

I = M R2

Sustituyendo en las expresiones de la aceleración y de la tensión:

a = R2 m g/(M R2 + R2 m) = m g/(M + m)  

T = m g M R2 /(M R2 + R2 m) = m g M/(M + m) 

a = 5 kg·(9,8 m/s2)/(5 kg + 5 kg) = 4,9 m/s2

T = 5 kg·(9,8 m/s2)·5 kg/(5 kg + 5 kg) = 24,5 N

b)  Se desenrolla 1 m de cuerda cuando el cuerpo baja 1 m.

Ecuaciones del movimiento del bloque: 

v = –a t                 y = –(1/2) a t2

Datos: y1 = –1 m, a = 4,9 m/s2 (del apartado anterior)

y1 = –(1/2) a t12

 

 

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