El Sapo Sabio

 

Por un plano inclinado de ángulo φ, baja rodando sin deslizar un cilindro no homogéneo de masa m y radio R. Sabiendo que la aceleración de su c.d.m es a, calcula el momento de inercia del cilindro.

 

 

Solución:

Datos: φ, m, R, a

Momento de una fuerza (torque):

M = I α

Para que el cuerpo baje rodando y no resbale, debe existir un momento respecto al eje del cilindro creado por una fuerza.

Fuerzas que actúan sobre el cilindro y descomposición de las mismas:

Traslación del c.d.m:

N – m g cos φ = 0 → N = m g cos φ

m g sen φ – F_r = m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

Rotación alrededor del c.d.m:

Sentido de giro:

Como el cilindro está bajado por la rampa girará en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

Momento del torque:

M = M_{m g sen φ} + M_{m g cos φ} + M_Fr + M_N

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

M_{m g sen φ} = 0      M_{m g cos φ}= 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

M_Fr = R F_r sen 90º = R F_r

El sentido es opuesto al de las agujas del reloj.

M_N = R N sen 180º = 0

M = 0 + 0 + R F_r + 0

El sentido es opuesto al de las agujas del reloj.

De todo lo anterior se obtienen el siguiente sistema:

N = m g cos φ

m g sen φ – F_r = m a

M = I α → R F_r = I α

Como el cilindro rueda sin resbalar: a = α r, luego:

R F_r = I a/R → F_r = I a/R²

m g sen φ – F_r = m a → F_r = m g sen φ – m a

I a/R² = m g sen φ – m a

I a = R² m (g sen φ – a)

I = R² m (g sen φ – a)/a