Momento de inercia 05
Por un plano inclinado de ángulo φ, baja rodando sin deslizar un cilindro no homogéneo de masa m y radio R. Sabiendo que la aceleración de su c.d.m es a, calcula el momento de inercia del cilindro.
Solución:
Datos: φ, m, R, a
Momento de una fuerza (torque):
M = I α
Para que el cuerpo baje rodando y no resbale, debe existir un momento respecto al eje del cilindro creado por una fuerza.
Fuerzas que actúan sobre el cilindro y descomposición de las mismas:
Traslación del c.d.m:
N – m g cos φ = 0 → N = m g cos φ
m g sen φ – Fr = m a
A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.
Rotación alrededor del c.d.m:
Sentido de giro:
Como el cilindro está bajado por la rampa girará en el sentido contrario al de las agujas del reloj.
Momento del torque:
M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN
Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:
Mm g sen φ = 0 Mm g cos φ= 0
Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:
MFr = R Fr sen 90º = R Fr
El sentido es opuesto al de las agujas del reloj.
MN = R N sen 180º = 0
M = 0 + 0 + R Fr + 0
El sentido es opuesto al de las agujas del reloj.
De todo lo anterior se obtienen el siguiente sistema:
N = m g cos φ
m g sen φ – Fr = m a
M = I α → R Fr = I α
Como el cilindro rueda sin resbalar: a = α r, luego:
R Fr = I a/R → Fr = I a/R2
m g sen φ – Fr = m a → Fr = m g sen φ – m a
I a/R2 = m g sen φ – m a
I a = R2 m (g sen φ – a)
I = R2 m (g sen φ – a)/a