Momento de inercia 05

 

Por un plano inclinado de ángulo φ, baja rodando sin deslizar un cilindro no homogéneo de masa m y radio R. Sabiendo que la aceleración de su c.d.m es a, calcula el momento de inercia del cilindro.

 

 

Solución:

Datos: φ, m, R, a

Momento de una fuerza (torque):

M = I α

Para que el cuerpo baje rodando y no resbale, debe existir un momento respecto al eje del cilindro creado por una fuerza.

Fuerzas que actúan sobre el cilindro y descomposición de las mismas:

Traslación del c.d.m:

N – m g cos φ = 0 N = m g cos φ

m g sen φ – Fr = m a

A efectos de traslación se puede considerar que todas las fuerzas exteriores, están aplicadas en el c.d.m.

Rotación alrededor del c.d.m:

Sentido de giro:

Como el cilindro está bajado por la rampa girará en el sentido contrario al de las agujas del reloj.

Momento del torque:

M = Mm g sen φ + Mm g cos φ + MFr + MN

Las fuerzas m g sen φ y m g cos φ están aplicadas en el eje, luego sus momentos son nulos, es decir:

Mm g sen φ = 0      Mm g cos φ= 0

Momentos de la fuerza de rozamiento y de la normal:

MFr = R Fr sen 90º = R Fr

El sentido es opuesto al de las agujas del reloj.

MN = R N sen 180º = 0

M = 0 + 0 + R Fr + 0

El sentido es opuesto al de las agujas del reloj.

De todo lo anterior se obtienen el siguiente sistema:

N = m g cos φ

m g sen φ – Fr = m a

M = I α → R Fr = I α

Como el cilindro rueda sin resbalar: a = α r, luego:

R Fr = I a/R Fr = I a/R2

m g sen φ – Fr = m a Fr = m g sen φ – m a

I a/R2 = m g sen φ – m a

I a = R2 m (g sen φ – a)

I = R2 m (g sen φ – a)/a

 

 

 

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