Conservación del momento lineal 17

 

Un proyectil de 3 kg de masa se mueve horizontalmente a una velocidad de 200 m/s. En un momento dado explota en tres fragmentos. Uno de ellos de 0,5 kg se mueve horizontalmente en el mismo sentido del proyectil inicial a una velocidad de 100 km/h. Otro de 1 kg es despedido perpendicularmente al anterior a velocidad de 150 km/h. Calcula la velocidad del tercer fragmento y el ángulo que forma con la horizontal.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Datos: M = 3 kg; v = 200 m/s; m1 = 0,5 kg; v1 = 27,8 m/s; m2 = 1 kg; v2 = 41,7 m/s; m3 = 1,5 kg

Momento lineal antes de la explosión:

P = M v = M (v i + 0 j) = M v i + 0 j

Momento lineal después de la explosión:

Momento lineal:

P’ = P1 + P2 + P3

Se han supuesto la dirección y el sentido de v3.

Siendo:

P1 = m1 v1 = m1 v1 ( i + 0 j) = m1 v1 i + 0 j

P2 = m2 v2 = m2 v2 (0 i + j) = 0 i + m2 v2 j

P3 = m3 v3 = m3 (–v3,x i – v3,y j) = –m3 v3,x i + m3 v3,y j

P’ = m1 v1 i + m2 v2 j – m3 v3,x i + m3 v3,y j

P’ = (m1 v1 – m3 v3,x) i + (m2 v2 j + m3 v3,y j)

Conservación del momento lineal:

El sistema no está aislado porque sobre el proyectil y sus fragmentos actúa la fuerza peso (exterior). Pero ocurre que el peso es despreciable en comparación con las fuerzas internas de la explosión, así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura la explosión y el momento lineal se conserva. Por tanto:

P = P’

M v i + 0 j = (m1 v1 – m3 v3,x) i + (m2 v2 j + m3 v3,y j)

Luego:

M v = m1 v1 – m3 v3,x                  0 = m2 v2 + m3 v3,y

m3 v3,x = m1 v1 – M v → v3,x = (m1 v1 – M v)/m3

m3 v3,y = m2 v2 → v3,y = (m2/m3) v2

v3,x = [0,5 kg·(27,8 m/s) – 3 kg·(200 m/s)]/1,5 kg = –390,7 m/s

v3,y = (1 kg/1,5 kg)·41,7 m/s = 27,8 m/s

El signo negativo del valor de la componente v3,x, indica que se encuentra en sentido opuesto al supuesto, es decir, en sentido positivo del eje X, o sea, que el vector v3 está en el cuarto cuadrante.

Ángulo que forma con la horizontal:

El vector v3 forma un ángulo de 4,1º por debajo de la horizontal. 

 

 

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