Conservación del momento lineal 16

 

Se dispara un proyectil de 2 kg de masa verticalmente hacia arriba con una velocidad de 100 m/s. Cuando se encuentra a 200 m de altura explosiona dividiéndose en dos partes de 0,5 y 1,5 kg que salen despedidos horizontalmente, llegando al suelo al mismo tiempo. El fragmento de 0,5 kg cae a 20 m del punto de lanzamiento. Hallar:

a)  La velocidad del proyectil cuando explota.

b)  A qué distancia del punto de lanzamiento cae el segundo fragmento.

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Datos: m = 2 kg; v0 = 100 m/s; y1 = 200 m; m1 = 0,5 kg; m2 = 1,5 kg; x1 = 20 m

Trayectorias del proyectil y de los fragmentos.

a)  Ecuaciones del movimiento del proyectil:

v = v0 – g t             y = v0 t – (1/2) g t2

De la ecuación de la velocidad despejaremos el tiempo (t) y sustituiremos en la ecuación de posición (y):

g t = v0 – v → t = (v0 – v)/g

y1 = v0 [(v0 – v)/g] – (1/2) g [(v0 – v)/g]2

y1 = v0 [(v0 – v)/g] – [(v0 – v)2/2g]

y1 = 2v0 [(v0 – v)/2g] – [(v0 – v)2/2g]

y1 = (2v02 – 2v0 v – v02 + 2v0 v – v2)/2g

y1 = (v02 – v2)/2g

2y1 g = v02 – v2

v2 = v02 – 2y1 g

b)  Ecuaciones del movimiento del fragmento 2:

v2,x = v2                 v2,y = –g t2

x2 = v2,x t2 = v2 t2              y2 = y1 – (1/2) g t22 

No hay ángulo de tiro porque la velocidad inicial cae toda sobre el eje X.

Cuando el fragmento m2 llega al suelo y2 = 0, luego:

0 = y1 – (1/2) g t22 → (1/2) g t22 = y1  

Para poder resolver el problema necesitamos saber el valor de v2, para lo cual utilizaremos el principio de conservación del momento lineal:

Aunque el sistema no está aislado porque sobre el proyectil y sus fragmentos actúa la fuerza peso (exterior), ocurre que el peso es despreciable en comparación con las fuerzas internas de la explosión, así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura la explosión y el momento lineal se conserva.

P = P’

El proyectil moviéndose verticalmente con velocidad v, explota rompiéndose en dos fragmentos, por tanto:

P =m (0 i + v j) = 0 i + m v j

Los fragmentos se mueven  horizontalmente con velocidad v1 y v2, luego:

P’ = m1 (–v1 i + 0 j) + m2 (v2 i + 0 j) = (–m1 v1 + m2 v2) i + 0 j

Por tanto:

0 i + m v j = (–m1 v1 + m2 v2) i + 0 j

Luego:

m2 v2 – m1 v1 = 0 → m2 v2 = m1 v1 → v2 = (m1/m2) v1

Sustituyendo en la expresión de x2:

Ahora, necesitamos conocer el valor de v1.

Ecuaciones del movimiento del fragmento m1:

v1,x = –v1                v1,y = –g t1

x1 = v1,x t1 = –v1 t1            y1’ = y1 – (1/2) g t12 

No hay ángulo de tiro porque la velocidad inicial cae toda sobre el eje X.

Cuando el fragmento m1 llega al suelo y1’ = 0, luego:

0 = y1 – (1/2) g t12 → (1/2) g t12 = y1  

 

 

Deja un comentario

AYUDA EL SAPO SABIO

Categorías
Canal Sapo Sabio
Numen, rock progresivo