Conservación del momento lineal 15

 

Un cohete que se desplaza en línea recta y con velocidad uniforme de 2000 km/h, sufre una explosión dividiéndose en dos partes; una de ellas, 2/5 de la masa total se mueve formando un ángulo de 30º por encima de la horizontal y con velocidad de 1000 km/h. Determina:

a)  La velocidad y dirección del segundo fragmento

b)  La velocidad del centro de masas después de la explosión

Nota: las letras en negrita indican que se trata de vectores.

 

 

Solución:

Datos: v1 = 2000 km/h = 556 m/s; m1 = m; v2 = 1000 km/h = 278 m/s; m2 = (2/5) m; α = 30º

a)  Antes de la explosión:

Momento lineal antes de la explosión:

P = m1 v1 = m1 v1 i + 0 j

Después de la explosión:

La dirección del segundo fragmento se ha supuesto.

Momento lineal después de la explosión:

P’ = m2 v2 + m3 v3 = m2 (v2 cos α i + v2 sen α j) + m3 v3

Conservación del momento lineal:

El sistema no está aislado porque sobre el proyectil y sus fragmentos actúa la fuerza peso (exterior). Pero ocurre que el peso es despreciable en comparación con las fuerzas internas de la explosión, así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura la explosión y el momento lineal se conserva.

P = P’

m1 v1 i + 0 j = m2 (v2 cos α i + v2 sen α j) + m3 v3

m v1 i + 0 j = (2/5) m (v2 cos α i + v2 sen α j) + (3/5) m v3

v1 i + 0 j = (2/5) (v2 cos α i + v2 sen α j) + (3/5) v3

(3/5) v3 = v1 i + 0 j – (2/5) (v2 cos α i + v2 sen α j)

v3 = (5/3) v1 i + 0 j – (2/3) (v2 cos α i + v2 sen α j)

v3 = [(5/3) v1 – (2/3) v2 cos α] i – (2/3) v2 sen α j

v3 = [(5/3)·556 (m/s) – (2/3)·278(m/s)·cos 30º] i – (2/3)·278 (m/s)·sen 30º j

v3 = 766 i – 93 j m/s

Módulo:

Dirección (α’):

tg α’ = –93/766 → α = arc tg (–93/776) = –6,9º  

b)   

vcdm = Σmi vi/M

vcdm = [(2/5) m (278·cos 30º i + 278·sen 30º j) + (3/5) m (766 i – 93 j)]/m

vcdm = (2/5)·(278·cos 30º i + 278·sen 30º j) + (3/5)·(766 i – 93 j)

vcdm = [(2/5)·278·cos 30º + (3/5)·766] i + [(2/5)·278·sen 30º – (3/5)·93] j)

vcdm = 556 i + 0 j m/s

Módulo:

vcdm = 556 m/s

La velocidad del centro de masas después de la explosión es la misma que la del cohete si no hubiera explotado, porque no hay fuerzas exteriores que modifiquen el centro de masas.

 

 

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