El Sapo Sabio

 

Desde el punto A se lanza horizontalmente una pelota con velocidad 8 m/s. Sabiendo que la pelota choca elásticamente con la pared opuesta, determina dónde llega al suelo (Las distancias están dadas en m)

 

 

Solución:

Datos: v₀ = 8 m/s; x₁ = 10 m; y’₁ = –20 m

Primero calcularemos dónde choca la pelota con la pared y la velocidad con qué lo hace:

Ecuaciones del movimiento cuando la pelota impacta con la pared de enfrente:

v_x1 = v₀        v_y1 = –g t₁

x₁ = v₀ t₁      y₁ = –(1/2) g t₁²

Tiempo que tarda en impactar:

t₁ = x₁/v₀

Sustituyendo:

y₁ = – (1/2) g (x₁/v₀)²

v_x1 = 0                  v_y1 =  – g·(x₁/v₀)

Ahora averiguaremos la velocidad de la pelota tras el choque con la pared.

Componentes de la velocidad después del choque:

En un choque oblicuo elástico la velocidad paralela a la pared (v_y) se conserva y la velocidad normal (v_x) se invierte (cambia de sentido).

v’_x = – v₀               v’_y = – g·(x₁/v₀)

Por último calcularemos dónde llega la pelota al suelo.

Ecuaciones del movimiento después del impacto:

v’_x = – v’_x0              v’_y =  – v’_y0 – g t

x’ =  x’₀ – v’_x0 t                 y’ = – y’₀  – v’_y0 t – (1/2) g t²

No hay ángulo de tiro porque las velocidades caen sobre los ejes.

Parámetros:

v’_x0 = v₀                 v’_y0 = g x₁/v₀

x’₀ = x₁                  y’₀ = (1/2) g (x₁/v₀)²

Los parámetros no se ponen con signo. El signo se pone en las ecuaciones.

Llegada al suelo:

x’₁ =  x’₀ – v’_x0 t₁

y’₁ = – y’₀  – v’_y0 t₁ – (1/2) g t₁²

Vamos a despejar el tiempo de la segunda expresión:

(1/2) g t₁² + v’_y0 t₁ + (y’₁ + y’₀) = 0 

La raíz negativa no sirve porque da un tiempo negativo.

Sustituyendo en la primera expresión y realizando los debidos cambios:

La pelota se encuentra horizontalmente a una distancia de 3,84 m a la derecha de A.

Es interesante observa lo siguiente:

Se puede comprobar que si no hubiera pared la pelota habría tocado el suelo en:

y se obtiene que, tras impactar con la pared, la pelota toca el suelo en:

La pared está en el punto medio entre las dos posiciones. Es decir, el punto de impacto con el suelo cuando hay choque es simétrico, respecto a la pared, del punto de impacto cuando no hay choque.

Es como si se reflejara la trayectoria en la pared.