Conservación del momento lineal 11

 

Desde la terraza de un edificio de 30 m de altura se deja caer un cuerpo de 100 g, simultáneamente se lanza desde el suelo hacia arriba a 20 m/s otro cuerpo de 400 g. Ambos cuerpos chocan y quedan incrustados. Calcula el tiempo que tarda el conjunto en llegar al suelo desde que se produjo el choque.

 

 

Solución:

Datos: y1 = 30 m; v1,0 = 0; m1 = 100 g; v2,0 = 20 m/s; m2 = 400 g

Gráfica del movimiento:

Ecuaciones del movimiento del cuerpo 1:

v1 = v1,0 – g t1 = 0 – g t1

v1 = –g t1

y1 = y1,0 –  v1,0 t1 – (1/2) g t12 = y1,0 – 0 – (1/2) g t12

y1 = y1,0 – (1/2) g t12

Ecuaciones del movimiento del cuerpo 2:

v2 = v2,0 – g t2

y2 = v2,0 t2 – (1/2) g t22

Cuando los cuerpos choque se cumplirá que:

t1 = t2 = t              y1 = y2 = y’

Por tanto:

v1 = –g t

y’ = y1,0 – (1/2) g t2

v2 = v2,0 – g t

y’ = v2,0 t – (1/2) g t2

De la segunda y cuarta ecuaciones del anterior sistema tenemos que:

y1,0 – (1/2) g t2 = v2,0 t – (1/2) g t2

y1,0 = v2,0 t

t = y1,0/v2,0

Tiempo que tardan en chocar ambos cuerpos:

t = 30 m/(20 m/s) = 1,5 s

Altura a la que se encuentran:

y' = 30 m – (1/2)·(9,8 m/s2)·(1,5 s)2 = 19 m

Velocidad de cada cuerpo:

v1 = –(9,8 m/s2)·1,5 s = –14,7 m/s

v2 = (20 m/s) – (9,8 m/s2)·1,5 s = 5,3 m/s

Ecuaciones del movimiento del conjunto:

v = v’ – g t’

y = y’ + v’ t’ – (1/2) g t’2

Cuando el conjunto llegue al suelo y = 0, luego:

(1/2) g t’2 – v’ t’ – y’ =0

Para hallar el valor de v’ utilizaremos el principio de conservación del momento lineal:

Aunque el sistema no está aislado porque sobre ambos cuerpos actúa la fuerza peso (exterior), ocurre que esta fuerza es despreciable en comparación con las fuerzas internas de contacto F’.  Así que el sistema prácticamente está aislado mientras dura el choque y el momento lineal se conserva. Por tanto:

P’1 = P’2

m1 v1 + m2 v2 = (m1 + m2) v’

v’ = (m1 v1 + m2 v2)/(m1 + m2)

v’ = [0,1 kg·(–14,7 m/s) + 0,4 kg·(5,3 m/s)]/0,5 kg

v’ = 1,3 m/s

La solución negativa no sirve luego:

t' = 2,1 s

 

 

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