Dinámica del movimiento circular 11

 

Una curva lisa de 180 m de radio tiene un peralte calculado para que pueda tomarse a una velocidad máxima de 45 km/h. ¿Cuál debería ser el coeficiente de rozamiento para que no derrapara tomándola a 90 km/h?

 

 

Solución:

Datos: R = 180 m; v1 = 45 km/h; v2 = 90 km/h

Peralte:

Las curvas en las carreteras tienen inclinación transversal: el borde exterior está más alto que el borde interior. Este desnivel se denomina peralte.

La velocidad del vehículo es perpendicular al plano de la pantalla y la curva que describe está en un plano horizontal, por tanto, la aceleración normal tendrá dirección horizontal.

Máxima velocidad con que se puede tomar una curva:

Si un coche entrase en la curva con velocidad mayor que la crítica, tendría que recorrer una curva de radio mayor que el de la carretera y se desplazaría sobre ésta hacia el borde exterior. El rozamiento se opone a este movimiento relativo y tirará del coche en sentido contrario.

Cuanto más rápido vaya el coche más grande tendrá que ser la fuerza de rozamiento para sujetarle. La máxima velocidad para tomar la curva será aquella para la cual la fuerza de rozamiento debe ser la máxima posible: µN

Fuerzas que intervienen:

Descomposición de la fuerza normal:

Las líneas del mismo color son perpendiculares y por tanto delimitan ángulos iguales.

Descomposición de la fuerza tangencial:

Las líneas del mismo color son paralelas y por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

N sen φ + μ N cos φ = m an → N sen φ + μ N cos φ = m v2/R

N cos φ = m g + μ N sen φ → N cos φ – μ N sen φ   = m g

N (sen φ + μ cos φ) = m v2/R

N (cos φ – μ sen φ) = m g

Dividiendo miembro a miembro ambas ecuaciones tenemos que:

N (sen φ + μ cos φ)/N (cos φ – μ sen φ) = (m v2/R)/m g

(sen φ + μ cos φ)/(cos φ – μ sen φ) = v2/R g

[(sen φ + μ cos φ)/cos φ]/[(cos φ – μ sen φ)/cos φ] = v2/R g

(tg φ + μ)/(1 – μ tg φ) = v2/R g

R g [(tg φ + μ)/(1 – μ tg φ)] = v2

Aplicando la expresión obtenida al caso en que no hay rozamiento µ = 0 y la curva se toma con velocidad v1 = 12,5 m/s (45 km/h):

Aplicando la expresión obtenida al caso en que hay rozamiento  µ y la curva se toma con velocidad v2 = 25 m/s (90 km/h):

Combinando las dos expresiones resulta un sistema de ecuaciones con dos incógnitas: φ y µ.

 

 

 

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