Dinámica del movimiento circular 09

 

El péndulo de la figura rota en un plano horizontal, sobre la superficie lisa de un cono de ángulo φ, con velocidad ω.

a)   Calcula la tensión de la cuerda y la reacción normal de la superficie.

b)  ¿Para qué velocidad se despegará el péndulo de la superficie?

 

 

Solución:

a)  Fuerzas que intervienen:

Descomposición 1:

Las líneas del mismo color son paralelas y por tanto delimitan ángulos iguales.

Descomposición 2:

Las líneas del mismo color son perpendiculares y por tanto delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la figura:

T cos φ + N sen φ = m g T = (m g – N sen φ)/cos φ

T sen φ – N cos φ = m an T sen φ – N cos φ = m (v2/R)

T sen φ – N cos φ = m (ω R)2/R → T sen φ – N cos φ = m ω2 R

Radio de la curva:

R = L sen φ

T sen φ – N cos φ = m ω2 L sen φ

Sustituyendo la expresión de T hallada en la primera ecuación tenemos que:

[(m g – N sen φ)/cos φ] sen φ – N cos φ = m ω2 L sen φ

m g sen φ – N sen2 φ – N cos2 φ = m ω2 L sen φ cos φ

m g sen φ – N (sen2 φ + cos2 φ) = m ω2 L sen φ cos φ

m g sen φ – N = m ω2 L sen φ cos φ

N = m g sen φ – m ω2 L sen φ cos φ

N = m sen φ (g – ω2 L cos φ)

T = {m g – [m sen φ (g – ω2 L cos φ)] sen φ}/cos φ

T = [m g – (m g sen2 φ – m ω2 L cos φ sen2 φ)]/cos φ

T = [(m g – m g sen2 φ + m ω2 L cos φ sen2 φ)]/cos φ

T = [m g (1 – sen2 φ) + m ω2 L cos φ sen2 φ)]/cos φ

T = (m g cos2 φ + m ω2 L cos φ sen2 φ)/cos φ

T = m g cos φ + m ω2 L sen2 φ

T = m [g cos φ + L (ω sen φ)2]

b)  La reacción normal de la superficie del cono, calculada en el apartado anterior es:

N = m sen φ (g – ω2 L cos φ)

Se puede ver que hay valores de ω que hacen la normal negativa. Una normal negativa indica una situación que no puede darse, ya que con esa velocidad la piedra no podrá girar tocando el cono sino que despegará. En el caso crítico la velocidad de giro es tal que la normal vale cero.

m sen φ (g – ω2 L cos φ) = 0

g – ω2 L cos φ = 0

ω2 L cos φ = g

ω2 = g/L cos φ

Para velocidades mayores que ésta, el péndulo no tocará la superficie.

 

 

 

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