Cuerpos en contacto 04

 

En el sistema de la figura, los bloques tienen igual masa m = 5 kg y la fuerza aplicada es F = 30 N. Determina la aceleración de los bloques.

Coeficiente de rozamiento entre bloques: μ’ = 0,1.

Coeficiente de rozamiento entre bloque 1 y superficie: μ = 0,2

 

 

Solución:

Datos: m1 = m2 = m = 5 kg; F = 30 N; μ’ = 0,1; μ = 0,2

Primer caso: supongamos que los bloques se mueven manteniéndose unidos.

La aceleración de los bloques será hacia la derecha, ya que la única fuerza útil es la fuerza F que se ejerce sobre el bloque 2 y aplicada en el c. d. m produce una aceleración hacia la derecha.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2.

Fuerzas normales:

N1,2 – m2 g = 0 → N1,2 = m2 g

Siendo N1,2 la reacción del bloque 1 correspondiente al peso del bloque 2.

Fuerzas tangenciales:

F – Fr,2 = m2 a

El bloque 2 se mueve hacia la derecha con respecto al 1 y como existe rozamiento entre ambos bloques, aparecerá una fuerza de rozamiento que se opondrá a este movimiento.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1:

Fuerzas normales:

N1 – m1 g – m2 g = 0 → N1 = m1 g + m2 g

Fuerzas tangenciales:

Fr,1 – F’r,1 = m1 a

Siendo Fr,1 la fuerza de reacción correspondiente a Fr,2 (acción y reacción). Ambas tienen el mismo módulo, es decir, Fr,1 = Fr,2 = Fr, cuyo valor está por determinar porque no hay movimiento relativo entre los bloques y F’r,1 = F’r la fuerza de rozamiento entre la superficie y el bloque 1.

Ambos bloques van juntos luego tienen la misma aceleración.

De todo lo anterior se obtiene el siguiente sistema:

F – Fr = m a

Fr – F’r = m a

Ahora despejamos Fr de la primera ecuación y sustituiremos en al segunda:

Fr = F – m a → F – m a – F’r = m a

F – F’r = m a + m a = 2 m a

a = (F – F’r)/2 m = (F – μ N1)/2 m = [F – μ (m g + m g)]/2 m

a = (F – 2 μ m g)/2 m

Fr = F – [m (F – 2 μ m g)/2 m] = F – [(F – 2 μ m g)/2]

Fr = F – (F/2) + μ m g = (1/2) F + μ m g

a = [30 N – 2·0,2·5 kg·(9,8 m/s2)]/2·5 kg = 1,04 m/s2

Fr = (1/2)·30 N – 0,2·5 kg·(9,8 m/s2) = 5,2 N

Para que los bloques permanezcan unidos la fuerza de rozamiento entre ellos ha de ser igual a 5,2 N, luego debemos averiguar si esto es posible.

Fr (máxima) = μ’ N1,2 = μ’ m2 g = 0,1·5 kg·(9,8 m/s2) = 4,9 N

Como la fuerza de rozamiento entre ambos bloques no es suficientemente grande para que permanezcan unidos, los bloques se moverán y, por lo tanto, hay que repetir el problema suponiendo que se mueven por separado.

En este segundo caso los bloques se mueven con aceleraciones diferentes luego no sirve para nada utilizar el c. d. m y hay que estudiar los bloques por separado.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2.

Fuerzas normales:

N1,2 – m2 g = 0 → N1,2 = m2 g = m g 

Siendo N1,2 la reacción del bloque 1 correspondiente al peso del bloque 2.

Fuerzas tangenciales:

F – Fr,2 = m2 a2 = m a2

El bloque 2 se mueve hacia la derecha con respecto al 1 y como existe rozamiento entre ambos bloques, aparecerá una fuerza de rozamiento que se opondrá a este movimiento.

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1:

Fuerzas normales:

N1 – m1 g – m2 g = 0 → N1 = m1 g + m2 g = 2 m g

Fuerzas tangenciales:

Fr,1 – F’r,1 = m1 a1 = m a1

Siendo Fr,1 la fuerza de reacción correspondiente a Fr,2 (acción y reacción). Ambas tienen el mismo módulo, es decir, Fr,1 = Fr,2 = Fr y F’r,1 = F’r la fuerza de rozamiento entre la superficie y el bloque 1.

De todo lo anterior se tiene que:

a2 = (F – Fr)/m = (F – μ’ N1,2)/m = (F – μ’ m g)/m

a1 = (Fr – F’r)/m = (μ’ m g – μ N1)/m = (μ’ m g – μ 2 m g)/m = (μ’ – 2 μ) g

a2 = [30 N – 0,1·5 kg·(9,8 m/s2)]/5 kg = 5,02 m/s2

a1 = (0,1 – 2·0,2)·(9,8 m/s2) = –2,94 m/s2

La aceleración negativa del bloque 1 indica que éste no se mueve porque lo sujeta el rozamiento con el suelo, por tanto a1 = 0.

Únicamente se moverá el bloque 2.

 

 

 

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