El Sapo Sabio

 

Dos masas de m₁ y m₂ están atadas a los extremos de un hilo y descansan sobre sendos planos inclinados como se muestra en la figura. Si los coeficientes de rozamiento de cada bloque con su respectivo plano son μ₁ y μ₂, calcula la aceleración del sistema y la tensión del hilo cuando se dejen en libertad.

Datos:

Bloque 1: m₁ = 5 kg, α = 30º, μ₁ = 0,1. Bloque 2: m₂ = 10 kg, β = 45º, μ₂ = 0,2

Tomad g = 10 m/s²

 

 

Solución:

En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.  

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T₁ = m₁ g sen α = 5 kg·(10 m/s²)· sen 30º = 25 N

T₂ = m₂ g sen β = 10 kg·(10 m/s²)·sen 45º = 70,7 N

Como T₂ > T₁, al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.  

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N₁ – P₁ cos α → N₁ = m₁ g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – P₁ sen α – F_r,1 = m₁ a → T – m₁ g sen α – F_r,1 = m₁ a

Fuerza de rozamiento:

F_r,1 = μ₁ N₁ = μ₁ m₁ g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

T – m₁ g sen α – μ₁ m₁ g cos α = m₁ a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N₂ – P₂ cos β = 0 → N₂ = m₂ g cos β

Fuerzas tangenciales:

P₂ sen β – F_r,2 – T = m₂ a → m₂ g sen β – F_r,2 – T = m₂ a

Fuerza de rozamiento:

F_r,2 = μ₂ N₂ = μ₂ m₂ g cos β

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m₂ g sen β – μ₂ m₂ g cos β – T = m₂ a

Ahora despejaremos la tensión (T) en última expresión del bloque 1 y sustituiremos en la del bloque 2.

T = m₁ g sen α + μ₁ m₁ g cos α + m₁ a

m₂ g sen β – μ₂ m₂ g cos β – (m₁ g sen α + μ₁ m₁ g cos α + m₁ a) = m₂ a

m₂ g sen β – μ₂ m₂ g cos β – m₁ g sen α – μ₁ m₁ g cos α – m₁ a = m₂ a

m₂ g sen β – μ₂ m₂ g cos β – m₁ g sen α – μ₁ m₁ g cos α = m₁ a + m₂ a

(sen β – μ₂ cos β) m₂ g – (sen α + μ₁ cos α) m₁ g = (m₁ + m₂) a

a = [(sen β – μ₂ cos β) m₂ – (sen α + μ₁ cos α) m₁] g /(m₁ + m₂)

a = [(sen 45º – 0,2 cos 45º)·10 kg – (sen 30º + 0,1·cos 30º)·5 kg]·(10 m/s²)/(5 + 10) kg

a = 1,8 m/s²

Para hallar la tensión sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las expresiones de las fuerzas tangenciales, por ejemplo en la del bloque 1.

T = [(sen α + μ₁ cos α) g + a] m₁

T = [(sen 30º + 0,1·cos 30º)·10 m/s² + 1,8 m/s²]· 5 kg = 38,3 N