Dos planos inclinados 05

 

Dos masas de m1 y m2 están atadas a los extremos de un hilo y descansan sobre sendos planos inclinados como se muestra en la figura. Si los coeficientes de rozamiento de cada bloque con su respectivo plano son μ1 y μ2, calcula la aceleración del sistema y la tensión del hilo cuando se dejen en libertad.

Datos:

Bloque 1: m1 = 5 kg, α = 30º, μ1 = 0,1. Bloque 2: m2 = 10 kg, β = 45º, μ2 = 0,2

Tomad g = 10 m/s2

 

 

Solución:

En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.  

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T1 = m1 g sen α = 5 kg·(10 m/s2)· sen 30º = 25 N

T2 = m2 g sen β = 10 kg·(10 m/s2)·sen 45º = 70,7 N

Como T2 > T1, al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.  

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N1 – P1 cos α N1 = m1 g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – P1 sen α – Fr,1 = m1 a  T – m1 g sen α – Fr,1 = m1 a

Fuerza de rozamiento:

Fr,1 = μ1 N1 = μ1 m1 g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

T – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α = m1 a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2 y descomposición de las mismas:

Fuerzas normales:

N2 – P2 cos β = 0 N2 = m2 g cos β

Fuerzas tangenciales:

P2 sen β – Fr,2 – T = m2 a m2 g sen β – Fr,2 – T = m2 a

Fuerza de rozamiento:

Fr,2 = μ2 N2 = μ2 m2 g cos β

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – T = m2 a

Ahora despejaremos la tensión (T) en última expresión del bloque 1 y sustituiremos en la del bloque 2.

T = m1 g sen α + μ1 m1 g cos α + m1 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – (m1 g sen α + μ1 m1 g cos α + m1 a) = m2 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α – m1 a = m2 a

m2 g sen β – μ2 m2 g cos β – m1 g sen α – μ1 m1 g cos α = m1 a + m2 a

(sen β – μ2 cos β) m2 g – (sen α + μ1 cos α) m1 g = (m1 + m2) a

a = [(sen β – μ2 cos β) m2 – (sen α + μ1 cos α) m1] g /(m1 + m2)

a = [(sen 45º – 0,2 cos 45º)·10 kg – (sen 30º + 0,1·cos 30º)·5 kg]·(10 m/s2)/(5 + 10) kg

a = 1,8 m/s2

Para hallar la tensión sustituimos el valor de la aceleración en cualquiera de las expresiones de las fuerzas tangenciales, por ejemplo en la del bloque 1.

T = [(sen α + μ1 cos α) g + a] m1

T = [(sen 30º + 0,1·cos 30º)·10 m/s2 + 1,8 m/s2]· 5 kg = 38,3 N

 

 

 

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