Dos planos inclinados 04
En el sistema de la figura los bloques tienen igual masa y el ángulo a es mayor que el b. Determina la aceleración de los bloques y tensión de la cuerda. Expresa los resultados en función de a, b y k.
Solución:
Datos: m1 = m2 = m; k; α>β
En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.
Sentido del movimiento:
Sistema en reposo:
T1 = m g cos α
T2 = m g cos β
Como T2 > T1, ya que cos β > cos α (0 < β < α), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj.
El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).
Fuerzas que actúan sobre el bloque 1:
Descomposición de las fuerzas:
Las líneas del mismo color son paralelas entre sí, luego delimitan ángulos iguales.
Aplicación:
Según la anterior figura:
Fuerzas normales:
N1 – m g sen α = 0 → N1 = m g sen α
Fuerzas tangenciales:
T – m g cos α – Fr,1 = m a
Fuerza de rozamiento:
Fr,1 = k N1 = k m g sen α
Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales tenemos que:
T – m g cos α – k m g sen α = m a
T = m g cos α + k m g sen α + m a
Fuerzas que actúan sobre el bloque 2:
Descomposición de las fuerzas:
Las líneas del mismo color son paralelas entre sí, luego delimitan ángulos iguales.
Aplicación:
Según la anterior figura:
Fuerzas normales:
N2 – m g sen β = 0 → N2 = m g sen β
Fuerzas tangenciales:
–T + m g cos β – Fr,2 = m a
Fuerza de rozamiento:
Fr,2 = k N2 = k m g sen β
Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales tenemos que:
–T + m g cos β – k m g sen β = m a
T = m g cos β – k m g sen β – m a
Igualando las dos ecuaciones de las tensiones:
m g cos α + k m g sen α + m a = m g cos β – k m g sen β – m a
Simplificando:
g cos α + k g sen α + a = g cos β – k g sen β – a
2a = –g cos α – k g sen α + g cos β – k g sen β
2a = (cos β – cos α – k sen α – k sen β) g
a = (cos β – cos α – k sen α – k sen β) g/2
a = [(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k] g/2
Tomando cualquiera de las expresiones de la tensión, por ejemplo la primera, tenemos que:
T = m g cos α + k m g sen α + m {[(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k] g/2}
T = m g {cos α + k sen α + [(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k]/2}
T = m g [(2 cos α + 2 k sen α + cos β – cos α – k sen α – k sen β)/2]
T = m g [(cos α + k sen α + cos β – k sen β)/2]
T = m g {[(cos α + cos β) + ( sen α – sen β) k]/2}