El Sapo Sabio

 

En el sistema de la figura los bloques tienen igual masa y el ángulo a es mayor que el b. Determina la  aceleración de los bloques y tensión de la cuerda. Expresa los resultados en función de a, b y k. 

 

 

Solución:

Datos: m₁ = m₂ = m; k; α>β

En los datos del problema no se dice nada a cerca de la polea, por tanto debemos entender que su masa es despreciable, por lo que no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de ambos bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

T₁ = m g cos α

T₂ = m g cos β

Como T₂ > T₁, ya que cos β > cos α (0 < β < α), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido de las agujas del reloj. 

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo).

Fuerzas que actúan sobre el bloque 1:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color son paralelas entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N₁ – m g sen α = 0 → N₁ = m g sen α 

Fuerzas tangenciales:

T – m g cos α – F_r,1  = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r,1 = k N₁ = k m g sen α 

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales tenemos que:

 T – m g cos α – k m g sen α = m a

T = m g cos α + k m g sen α + m a

Fuerzas que actúan sobre el bloque 2:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color son paralelas entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la anterior figura:

Fuerzas normales:

N₂ – m g sen β = 0 → N₂ = m g sen β 

Fuerzas tangenciales:

–T + m g cos β – F_r,2  = m a

Fuerza de rozamiento:

F_r,2 = k N₂ = k m g sen β 

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales tenemos que:

 –T + m g cos β – k m g sen β = m a

T = m g cos β – k m g sen β – m a

Igualando las dos ecuaciones de las tensiones:

m g cos α + k m g sen α + m a = m g cos β – k m g sen β – m a

Simplificando:

g cos α + k g sen α + a = g cos β – k g sen β – a

2a = –g cos α – k g sen α + g cos β – k g sen β

2a = (cos β – cos α – k sen α – k sen β) g

a = (cos β – cos α – k sen α – k sen β) g/2

a = [(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k] g/2

Tomando cualquiera de las expresiones de la tensión, por ejemplo la primera, tenemos que:

T = m g cos α + k m g sen α + m {[(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k] g/2}

T = m g {cos α + k sen α + [(cos β – cos α) – (sen α + sen β) k]/2}

T = m g [(2 cos α + 2 k sen α + cos β – cos α – k sen α – k sen β)/2]

T = m g [(cos α + k sen α + cos β – k sen β)/2]

T = m g {[(cos α + cos β) + ( sen α – sen β) k]/2}