Planos inclinado y horizontal 05

 

Un cuerpo lanzado con una velocidad inicial v0 a lo largo de un plano se para después de recorrer 6 m si el plano está inclinado 60º respecto a la horizontal, y después de recorrer 20 m si el plano está horizontal. Calcula v0 y el coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano.

 

 

Solución:

Datos: α = 60º → x1 = 6 m; α’ = 0º → x2 = 20 m. En ambos casos v = 0

Ecuaciones del movimiento:

v = v0 – a t             x = v0 t – (1/2) a t2

De la ecuación de velocidad tenemos que:

0 = v0 – a t → a t = v0 → t = v0/a

Sustituyendo en la ecuación de posición:

x = v0(v0/a) – (1/2) a (v0/a)2

x = (v02/a) – (v02/2 a)= v02/2 a

v02 = 2 a x

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 1

Para poder resolver este problema necesitamos conocer el valor de la aceleración en ambos casos, pues el valor de x1 y x2 sí lo sabemos.

Primer caso. Plano inclinado:

Fuerzas que intervienen:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 13,1

Descomposición de fuerzas:

PLANO INCL CON ROZAM 06, 2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 13,2

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 → N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

m g sen α + Fr = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = μ N = μ m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

m g sen α + μ m g cos α = m a

 g sen α + μ g cos α = a

a = g (sen α + μ cos α)

Pero ahora nos falta saber el coeficiente de rozamiento.

Segundo caso. Plano horizontal:

Fuerzas que intervienen:

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 2

Fuerzas normales:

N’ – m g = 0 → N’ = mg

Fuerzas tangenciales:

F’r = m a’

Fuerza de rozamiento:

F’r = μ N’ = μ m g

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales:

μ m g = m a’ → a’ = μ g

Pero ahora, también nos falta saber el coeficiente de rozamiento.

Veamos las ecuaciones que tenemos  y si se pueden resolver.

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 3

a = g (sen α + μ cos α)

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 4

a’ = μ g

         De las expresiones de las velocidades iniciales tenemos que:

2x1 a = 2x2 a’ → x1 a = x2 a’

x1 g (sen α + μ cos α) = x2 μ g

x1 (sen α + μ cos α) = x2 μ

x1 sen α + x1 μ cos α = x2 μ

x1 sen α = x2 μ – x1 μ cos α

(x2 – x1 cos α) μ = x1 sen α

μ = x1 sen α/(x2 – x1 cos α)

μ = 6 m·sen 60º/(20 m – 6 m cos 60º) = 0,3

PLANOS INCLINADO Y HORIZ 05, 5

 

 

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