El Sapo Sabio

 

Se deja en libertad el sistema de la figura. Determina la aceleración de los bloques y la tensión de la cuerda. Datos: m₁ = m₂ = 2 kg, α = 20º, μ = 0,1 y F = 18 N

 

 

Solución:

Datos: m₁ = m₂ = 2 kg; α = 20º; μ = 0,1; F = 18 N

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

Según la figura:

T₁ = F + P₁ sen α = F + m₁ g sen α = 18 N + 2·(9,8 m/s²)·sen 20 = 24,7 N

T₂ = P₂ = m₂ g = 2 kg·(9,8 m/s²) = 19,6 N

Como T₁ > T₂, al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido opuesto al  de las agujas del reloj.

El bloque 1 bajará y el bloque 2 subirá, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

Descomposición de las fuerzas:

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – m₁ g cos α = 0 → N = m₁ g cos α

Fuerzas tangenciales:

F + m₁ g sen α – T – F_r = m₁ a

Fuerza de rozamiento:

F_r = μ N = μ m₁ g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

F + m₁ g sen α – T – μ m₁ g cos α = m₁ a

Bloque 2:

Según la figura:

Fuerzas normales:

T – P₂ = m₂ a → T – m₂ g = m₂ a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

F + m₁ g sen α – T – μ m₁ g cos α = m₁ a

T = m₂ g + m₂ a

de donde:

F + m₁ g sen α – m₂ g – m₂ a  – μ m₁ g cos α = m₁ a

Como m₁ = m₂, tenemos que:

F + m₁ g sen α – m₁ g – m₁ a – μ m₁ g cos α = m₁ a

F + m₁ g sen α – m₁ g– μ  m₁ g cos α = m₁ a + m₁ a

2 m₁ a = F + m₁ g sen α – m₁ g– μ m₁ g cos α   

2 a = (F/m₁) + g sen α – g – μ g cos α   

a = [(F/m₁) + g (sen α – 1 – μ cos α)]/2   

a = [(18 N/2 kg) + (9,8 m/s²)·(sen 20º – 1 – 0,1 cos 20º)]/2

a = 0,8 m/s²

La aceleración del sistema es 0,8 m/s²

Para hallar la tensión sustituiremos el valor de la aceleración en la expresión obtenida en bloque 2.

T = m₂ (g + a)

T = 2 kg·[(9,8 m/s²) + (0,8 m/s²)] = 21,2 N

La tensión en la cuerda es 21,2 N