Plano inclinado y polea 05

 

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,1

En el sistema de la figura los bloques tienen igual masa. Determina la aceleración de los bloques y tensión de la cuerda. Expresa los resultados en función de α, k y m.

 

 

Solución:

En los datos del problema no se dice nada sobre la polea, por tanto se debe entender que su masa es despreciable, luego no se tendrá en cuenta la rotación de la misma y únicamente se estudiará la traslación de los bloques.

Sentido del movimiento:

Sistema en reposo:

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,2

Según la figura:

T1 = P sen α = m g sen α

T2 = P = m g

Como T2 > T1 (ya que 0 < sen α < 1), al dejar el sistema en libertad la polea girará en el sentido opuesto al de las agujas del reloj.

El bloque 1 subirá y el bloque 2 bajará, ambos con la misma aceleración (módulo)

Fuerzas que actúan sobre cada bloque:

Bloque 1:

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,3

Descomposición de las fuerzas:

PLANO INCLINADO CON ROZAMIENTO, 15,2

Las líneas del mismo color son perpendiculares entre sí, luego delimitan ángulos iguales.

Aplicación:

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,4

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

N – m g cos α = 0 N = m g cos α

Fuerzas tangenciales:

T – Fr – m g sen α = m a

Fuerza de rozamiento:

Fr = k N = k m g cos α

Sustituyendo en la expresión de las fuerzas tangenciales, tenemos que:

T – k m g cos α – m g sen α  = m a

Bloque 2:

PLANO INCLINADO Y POLEA 05,5

Según la figura anterior:

Fuerzas normales:

–T + P = m a –T + m g = m a

De todo lo anterior tenemos el siguiente sistema de ecuaciones:

T – k m g cos α – m g sen α  = m a

T = m g – m a

de donde:

m g – m a – k m g cos α – m g sen α  = m a

g – a – k g cos α – g sen α  =  a

2 a = g – k g cos α – g sen α

a = g (1 – k cos α – sen α)/2

Para hallar la tensión sustituiremos el valor de la aceleración en la expresión obtenida en bloque 2.

T = m g – m [g (1 – k cos α – sen α)/2]

T = m g – [m g (1 – k cos α – sen α)/2]

T = m g {1 – [(1 – k cos α – sen α)/2]}

T = m g [(2 – 1 + k cos α + sen α)/2]

T = m g (1 + k cos α + sen α)/2

 

 

 

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